Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mulgass2.b |
|- B = ( Base ` R ) |
2 |
|
mulgass2.m |
|- .x. = ( .g ` R ) |
3 |
|
mulgass2.t |
|- .X. = ( .r ` R ) |
4 |
|
oveq1 |
|- ( x = 0 -> ( x .x. X ) = ( 0 .x. X ) ) |
5 |
4
|
oveq1d |
|- ( x = 0 -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) ) |
6 |
|
oveq1 |
|- ( x = 0 -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) ) |
7 |
5 6
|
eqeq12d |
|- ( x = 0 -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) ) ) |
8 |
|
oveq1 |
|- ( x = y -> ( x .x. X ) = ( y .x. X ) ) |
9 |
8
|
oveq1d |
|- ( x = y -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( y .x. X ) .X. Y ) ) |
10 |
|
oveq1 |
|- ( x = y -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) |
11 |
9 10
|
eqeq12d |
|- ( x = y -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) ) |
12 |
|
oveq1 |
|- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. X ) = ( ( y + 1 ) .x. X ) ) |
13 |
12
|
oveq1d |
|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) ) |
14 |
|
oveq1 |
|- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) |
15 |
13 14
|
eqeq12d |
|- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) ) |
16 |
|
oveq1 |
|- ( x = -u y -> ( x .x. X ) = ( -u y .x. X ) ) |
17 |
16
|
oveq1d |
|- ( x = -u y -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) ) |
18 |
|
oveq1 |
|- ( x = -u y -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) ) |
19 |
17 18
|
eqeq12d |
|- ( x = -u y -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) ) ) |
20 |
|
oveq1 |
|- ( x = N -> ( x .x. X ) = ( N .x. X ) ) |
21 |
20
|
oveq1d |
|- ( x = N -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( N .x. X ) .X. Y ) ) |
22 |
|
oveq1 |
|- ( x = N -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) |
23 |
21 22
|
eqeq12d |
|- ( x = N -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) ) |
24 |
|
eqid |
|- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R ) |
25 |
1 3 24
|
ringlz |
|- ( ( R e. Ring /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .X. Y ) = ( 0g ` R ) ) |
26 |
25
|
3adant3 |
|- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .X. Y ) = ( 0g ` R ) ) |
27 |
|
simp3 |
|- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> X e. B ) |
28 |
1 24 2
|
mulg0 |
|- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` R ) ) |
29 |
27 28
|
syl |
|- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` R ) ) |
30 |
29
|
oveq1d |
|- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( ( 0g ` R ) .X. Y ) ) |
31 |
1 3
|
ringcl |
|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .X. Y ) e. B ) |
32 |
31
|
3com23 |
|- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( X .X. Y ) e. B ) |
33 |
1 24 2
|
mulg0 |
|- ( ( X .X. Y ) e. B -> ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0g ` R ) ) |
34 |
32 33
|
syl |
|- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0g ` R ) ) |
35 |
26 30 34
|
3eqtr4d |
|- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) ) |
36 |
|
oveq1 |
|- ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) ) |
37 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> R e. Ring ) |
38 |
|
ringgrp |
|- ( R e. Ring -> R e. Grp ) |
39 |
37 38
|
syl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> R e. Grp ) |
40 |
|
nn0z |
|- ( y e. NN0 -> y e. ZZ ) |
41 |
40
|
adantl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> y e. ZZ ) |
42 |
27
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> X e. B ) |
43 |
|
eqid |
|- ( +g ` R ) = ( +g ` R ) |
44 |
1 2 43
|
mulgp1 |
|- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) ) |
45 |
39 41 42 44
|
syl3anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) ) |
46 |
45
|
oveq1d |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) ) |
47 |
38
|
3ad2ant1 |
|- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> R e. Grp ) |
48 |
47
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> R e. Grp ) |
49 |
1 2
|
mulgcl |
|- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B ) |
50 |
48 41 42 49
|
syl3anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( y .x. X ) e. B ) |
51 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> Y e. B ) |
52 |
1 43 3
|
ringdir |
|- ( ( R e. Ring /\ ( ( y .x. X ) e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) ) |
53 |
37 50 42 51 52
|
syl13anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) ) |
54 |
46 53
|
eqtrd |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) ) |
55 |
32
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( X .X. Y ) e. B ) |
56 |
1 2 43
|
mulgp1 |
|- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ ( X .X. Y ) e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) ) |
57 |
39 41 55 56
|
syl3anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) ) |
58 |
54 57
|
eqeq12d |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) ) ) |
59 |
36 58
|
syl5ibr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) ) |
60 |
59
|
ex |
|- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( y e. NN0 -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) ) ) |
61 |
|
fveq2 |
|- ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( ( y .x. X ) .X. Y ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) ) |
62 |
47
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> R e. Grp ) |
63 |
|
nnz |
|- ( y e. NN -> y e. ZZ ) |
64 |
63
|
adantl |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> y e. ZZ ) |
65 |
27
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> X e. B ) |
66 |
|
eqid |
|- ( invg ` R ) = ( invg ` R ) |
67 |
1 2 66
|
mulgneg |
|- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. X ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. X ) ) ) |
68 |
62 64 65 67
|
syl3anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( -u y .x. X ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. X ) ) ) |
69 |
68
|
oveq1d |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( invg ` R ) ` ( y .x. X ) ) .X. Y ) ) |
70 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> R e. Ring ) |
71 |
62 64 65 49
|
syl3anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( y .x. X ) e. B ) |
72 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> Y e. B ) |
73 |
1 3 66 70 71 72
|
ringmneg1 |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( ( invg ` R ) ` ( y .x. X ) ) .X. Y ) = ( ( invg ` R ) ` ( ( y .x. X ) .X. Y ) ) ) |
74 |
69 73
|
eqtrd |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( ( invg ` R ) ` ( ( y .x. X ) .X. Y ) ) ) |
75 |
32
|
adantr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( X .X. Y ) e. B ) |
76 |
1 2 66
|
mulgneg |
|- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ ( X .X. Y ) e. B ) -> ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) ) |
77 |
62 64 75 76
|
syl3anc |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) ) |
78 |
74 77
|
eqeq12d |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( invg ` R ) ` ( ( y .x. X ) .X. Y ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) ) ) |
79 |
61 78
|
syl5ibr |
|- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) ) ) |
80 |
79
|
ex |
|- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( y e. NN -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) ) ) ) |
81 |
7 11 15 19 23 35 60 80
|
zindd |
|- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( N e. ZZ -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) ) |
82 |
81
|
3exp |
|- ( R e. Ring -> ( Y e. B -> ( X e. B -> ( N e. ZZ -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) ) ) ) |
83 |
82
|
com24 |
|- ( R e. Ring -> ( N e. ZZ -> ( X e. B -> ( Y e. B -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) ) ) ) |
84 |
83
|
3imp2 |
|- ( ( R e. Ring /\ ( N e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) |