Theorem dvdsexpim

Description: If two numbers are divisible, so are their nonnegative exponents. Similar to dvdssqim for nonnegative exponents. (Contributed by Steven Nguyen, 2-Apr-2023)

	Ref	Expression
Assertion	dvdsexpim	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ∥ 𝐵 → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ∥ ( 𝐵 ↑ 𝑁 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divides	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑘 · 𝐴 ) = 𝐵 ) )
2	1	3adant3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ∥ 𝐵 ↔ ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑘 · 𝐴 ) = 𝐵 ) )
3		zexpcl	⊢ ( ( 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑘 ↑ 𝑁 ) ∈ ℤ )
4	3	ancoms	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 ↑ 𝑁 ) ∈ ℤ )
5	4	adantll	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝑘 ↑ 𝑁 ) ∈ ℤ )
6		zexpcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ∈ ℤ )
7	6	adantr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ∈ ℤ )
8		dvdsmul2	⊢ ( ( ( 𝑘 ↑ 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ∥ ( ( 𝑘 ↑ 𝑁 ) · ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) )
9	5 7 8	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ∥ ( ( 𝑘 ↑ 𝑁 ) · ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) )
10		zcn	⊢ ( 𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ )
11	10	adantl	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑘 ∈ ℂ )
12		zcn	⊢ ( 𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ )
13	12	ad2antrr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝐴 ∈ ℂ )
14		simplr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℕ0 )
15	11 13 14	mulexpd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 · 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) = ( ( 𝑘 ↑ 𝑁 ) · ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) )
16	9 15	breqtrrd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ∥ ( ( 𝑘 · 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) )
17		oveq1	⊢ ( ( 𝑘 · 𝐴 ) = 𝐵 → ( ( 𝑘 · 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) = ( 𝐵 ↑ 𝑁 ) )
18	17	breq2d	⊢ ( ( 𝑘 · 𝐴 ) = 𝐵 → ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ∥ ( ( 𝑘 · 𝐴 ) ↑ 𝑁 ) ↔ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ∥ ( 𝐵 ↑ 𝑁 ) ) )
19	16 18	syl5ibcom	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑘 · 𝐴 ) = 𝐵 → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ∥ ( 𝐵 ↑ 𝑁 ) ) )
20	19	rexlimdva	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑘 · 𝐴 ) = 𝐵 → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ∥ ( 𝐵 ↑ 𝑁 ) ) )
21	20	3adant2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( ∃ 𝑘 ∈ ℤ ( 𝑘 · 𝐴 ) = 𝐵 → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ∥ ( 𝐵 ↑ 𝑁 ) ) )
22	2 21	sylbid	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ∥ 𝐵 → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ∥ ( 𝐵 ↑ 𝑁 ) ) )