Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
etransclem14.n |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ ) |
2 |
|
etransclem14.m |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0 ) |
3 |
|
etransclem14.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 : ( 0 ... 𝑀 ) ⟶ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
4 |
|
etransclem14.t |
⊢ 𝑇 = ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝐶 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝐶 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝐶 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) |
5 |
|
etransclem14.j |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 = 0 ) |
6 |
|
etransclem14.cpm1 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ 0 ) = ( 𝑃 − 1 ) ) |
7 |
|
fzssre |
⊢ ( 0 ... 𝑁 ) ⊆ ℝ |
8 |
|
nn0uz |
⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 ) |
9 |
2 8
|
eleqtrdi |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
10 |
|
eluzfz1 |
⊢ ( 𝑀 ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
11 |
9 10
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ) |
12 |
3 11
|
ffvelrnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ 0 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
13 |
7 12
|
sseldi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ‘ 0 ) ∈ ℝ ) |
14 |
6 13
|
eqeltrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℝ ) |
15 |
13 14
|
lttri3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 ‘ 0 ) = ( 𝑃 − 1 ) ↔ ( ¬ ( 𝐶 ‘ 0 ) < ( 𝑃 − 1 ) ∧ ¬ ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝐶 ‘ 0 ) ) ) ) |
16 |
6 15
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ¬ ( 𝐶 ‘ 0 ) < ( 𝑃 − 1 ) ∧ ¬ ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝐶 ‘ 0 ) ) ) |
17 |
16
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ¬ ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝐶 ‘ 0 ) ) |
18 |
17
|
iffalsed |
⊢ ( 𝜑 → if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝐶 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝐶 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝐶 ‘ 0 ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝐶 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝐶 ‘ 0 ) ) ) ) ) |
19 |
14
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℂ ) |
20 |
6
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 − 1 ) = ( 𝐶 ‘ 0 ) ) |
21 |
19 20
|
subeq0bd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝐶 ‘ 0 ) ) = 0 ) |
22 |
21
|
fveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝐶 ‘ 0 ) ) ) = ( ! ‘ 0 ) ) |
23 |
|
fac0 |
⊢ ( ! ‘ 0 ) = 1 |
24 |
22 23
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝐶 ‘ 0 ) ) ) = 1 ) |
25 |
24
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝐶 ‘ 0 ) ) ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / 1 ) ) |
26 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℕ → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
27 |
1 26
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
28 |
27
|
faccld |
⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ∈ ℕ ) |
29 |
28
|
nncnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ∈ ℂ ) |
30 |
29
|
div1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / 1 ) = ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) |
31 |
25 30
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝐶 ‘ 0 ) ) ) ) = ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) |
32 |
5 21
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝐶 ‘ 0 ) ) ) = ( 0 ↑ 0 ) ) |
33 |
|
0exp0e1 |
⊢ ( 0 ↑ 0 ) = 1 |
34 |
32 33
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝐶 ‘ 0 ) ) ) = 1 ) |
35 |
31 34
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝐶 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝐶 ‘ 0 ) ) ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) · 1 ) ) |
36 |
29
|
mulid1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) · 1 ) = ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) |
37 |
18 35 36
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝐶 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝐶 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝐶 ‘ 0 ) ) ) ) ) = ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) ) |
38 |
5
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 − 𝑗 ) = ( 0 − 𝑗 ) ) |
39 |
|
df-neg |
⊢ - 𝑗 = ( 0 − 𝑗 ) |
40 |
38 39
|
eqtr4di |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 − 𝑗 ) = - 𝑗 ) |
41 |
40
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( - 𝑗 ↑ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
42 |
41
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( - 𝑗 ↑ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) |
43 |
42
|
ifeq2d |
⊢ ( 𝜑 → if ( 𝑃 < ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = if ( 𝑃 < ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( - 𝑗 ↑ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) |
44 |
43
|
prodeq2ad |
⊢ ( 𝜑 → ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) = ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( - 𝑗 ↑ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) |
45 |
37 44
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝐶 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝐶 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝐶 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( - 𝑗 ↑ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) |
46 |
45
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( if ( ( 𝑃 − 1 ) < ( 𝐶 ‘ 0 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) / ( ! ‘ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝐶 ‘ 0 ) ) ) ) · ( 𝐽 ↑ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝐶 ‘ 0 ) ) ) ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( ( 𝐽 − 𝑗 ) ↑ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( - 𝑗 ↑ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ) |
47 |
4 46
|
syl5eq |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 = ( ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ∏ 𝑗 ∈ ( 0 ... 𝑀 ) ( ! ‘ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) · ( ( ! ‘ ( 𝑃 − 1 ) ) · ∏ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) if ( 𝑃 < ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) , 0 , ( ( ( ! ‘ 𝑃 ) / ( ! ‘ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) · ( - 𝑗 ↑ ( 𝑃 − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) ) ) ) |