Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
f1f |
⊢ ( 𝐹 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 → 𝐹 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ) |
2 |
|
fex2 |
⊢ ( ( 𝐹 : 𝐴 ⟶ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ) → 𝐹 ∈ V ) |
3 |
1 2
|
syl3an1 |
⊢ ( ( 𝐹 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ) → 𝐹 ∈ V ) |
4 |
3
|
3coml |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) → 𝐹 ∈ V ) |
5 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) → 𝐹 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) |
6 |
|
f1eq1 |
⊢ ( 𝑓 = 𝐹 → ( 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ↔ 𝐹 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) ) |
7 |
4 5 6
|
spcedv |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) → ∃ 𝑓 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) |
8 |
|
brdomg |
⊢ ( 𝐵 ∈ 𝑊 → ( 𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃ 𝑓 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) ) |
9 |
8
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) → ( 𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃ 𝑓 𝑓 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) ) |
10 |
7 9
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹 : 𝐴 –1-1→ 𝐵 ) → 𝐴 ≼ 𝐵 ) |