Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nzrring |
⊢ ( 𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring ) |
2 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) = ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) |
3 |
2
|
frlmlmod |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ) → ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ∈ LMod ) |
4 |
1 3
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ) → ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ∈ LMod ) |
5 |
4
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽 ) → ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ∈ LMod ) |
6 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑅 unitVec 𝐼 ) = ( 𝑅 unitVec 𝐼 ) |
7 |
|
eqid |
⊢ ( LBasis ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) = ( LBasis ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) |
8 |
2 6 7
|
frlmlbs |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ) → ran ( 𝑅 unitVec 𝐼 ) ∈ ( LBasis ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ) |
9 |
1 8
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ) → ran ( 𝑅 unitVec 𝐼 ) ∈ ( LBasis ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ) |
10 |
9
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽 ) → ran ( 𝑅 unitVec 𝐼 ) ∈ ( LBasis ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ) |
11 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽 ) → 𝐼 ≈ 𝐽 ) |
12 |
11
|
ensymd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽 ) → 𝐽 ≈ 𝐼 ) |
13 |
6
|
uvcendim |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ) → 𝐼 ≈ ran ( 𝑅 unitVec 𝐼 ) ) |
14 |
13
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽 ) → 𝐼 ≈ ran ( 𝑅 unitVec 𝐼 ) ) |
15 |
|
entr |
⊢ ( ( 𝐽 ≈ 𝐼 ∧ 𝐼 ≈ ran ( 𝑅 unitVec 𝐼 ) ) → 𝐽 ≈ ran ( 𝑅 unitVec 𝐼 ) ) |
16 |
12 14 15
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽 ) → 𝐽 ≈ ran ( 𝑅 unitVec 𝐼 ) ) |
17 |
|
eqid |
⊢ ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) = ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) |
18 |
17 7
|
lbslcic |
⊢ ( ( ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ∈ LMod ∧ ran ( 𝑅 unitVec 𝐼 ) ∈ ( LBasis ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ∧ 𝐽 ≈ ran ( 𝑅 unitVec 𝐼 ) ) → ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ≃𝑚 ( ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) freeLMod 𝐽 ) ) |
19 |
5 10 16 18
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽 ) → ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ≃𝑚 ( ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) freeLMod 𝐽 ) ) |
20 |
2
|
frlmsca |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ) → 𝑅 = ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ) |
21 |
20
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽 ) → 𝑅 = ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) ) |
22 |
21
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽 ) → ( 𝑅 freeLMod 𝐽 ) = ( ( Scalar ‘ ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ) freeLMod 𝐽 ) ) |
23 |
19 22
|
breqtrrd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑌 ∧ 𝐼 ≈ 𝐽 ) → ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) ≃𝑚 ( 𝑅 freeLMod 𝐽 ) ) |