Theorem fzoss1

Description: Subset relationship for half-open sequences of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015)

	Ref	Expression
Assertion	fzoss1	⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) ⊆ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1	⊢ ( ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) = ∅ → ( ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) ⊆ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ↔ ∅ ⊆ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) ) )
2		fzon0	⊢ ( ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) ≠ ∅ ↔ 𝐾 ∈ ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) )
3		elfzoel2	⊢ ( 𝐾 ∈ ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℤ )
4	2 3	sylbi	⊢ ( ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) ≠ ∅ → 𝑁 ∈ ℤ )
5		fzss1	⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
6	5	adantr	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ⊆ ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
7		fzoval	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) = ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
8	7	adantl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) = ( 𝐾 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
9		fzoval	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) = ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
10	9	adantl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) = ( 𝑀 ... ( 𝑁 − 1 ) ) )
11	6 8 10	3sstr4d	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) ⊆ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) )
12	4 11	sylan2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ∧ ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) ≠ ∅ ) → ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) ⊆ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) )
13		0ss	⊢ ∅ ⊆ ( 𝑀 ..^ 𝑁 )
14	13	a1i	⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ∅ ⊆ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) )
15	1 12 14	pm2.61ne	⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝐾 ..^ 𝑁 ) ⊆ ( 𝑀 ..^ 𝑁 ) )