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Theorem hoidmvval0

Description: The dimensional volume of the (half-open interval) empty set. Definition 115A (c) of Fremlin1 p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020)

Ref Expression
Hypotheses hoidmvval0.p 𝑗 𝜑
hoidmvval0.l 𝐿 = ( 𝑥 ∈ Fin ↦ ( 𝑎 ∈ ( ℝ ↑m 𝑥 ) , 𝑏 ∈ ( ℝ ↑m 𝑥 ) ↦ if ( 𝑥 = ∅ , 0 , ∏ 𝑘𝑥 ( vol ‘ ( ( 𝑎𝑘 ) [,) ( 𝑏𝑘 ) ) ) ) ) )
hoidmvval0.x ( 𝜑𝑋 ∈ Fin )
hoidmvval0.a ( 𝜑𝐴 : 𝑋 ⟶ ℝ )
hoidmvval0.b ( 𝜑𝐵 : 𝑋 ⟶ ℝ )
hoidmvval0.j ( 𝜑 → ∃ 𝑗𝑋 ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) )
Assertion hoidmvval0 ( 𝜑 → ( 𝐴 ( 𝐿𝑋 ) 𝐵 ) = 0 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 hoidmvval0.p 𝑗 𝜑
2 hoidmvval0.l 𝐿 = ( 𝑥 ∈ Fin ↦ ( 𝑎 ∈ ( ℝ ↑m 𝑥 ) , 𝑏 ∈ ( ℝ ↑m 𝑥 ) ↦ if ( 𝑥 = ∅ , 0 , ∏ 𝑘𝑥 ( vol ‘ ( ( 𝑎𝑘 ) [,) ( 𝑏𝑘 ) ) ) ) ) )
3 hoidmvval0.x ( 𝜑𝑋 ∈ Fin )
4 hoidmvval0.a ( 𝜑𝐴 : 𝑋 ⟶ ℝ )
5 hoidmvval0.b ( 𝜑𝐵 : 𝑋 ⟶ ℝ )
6 hoidmvval0.j ( 𝜑 → ∃ 𝑗𝑋 ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) )
7 id ( 𝜑𝜑 )
8 fveq2 ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐵𝑘 ) = ( 𝐵𝑗 ) )
9 fveq2 ( 𝑘 = 𝑗 → ( 𝐴𝑘 ) = ( 𝐴𝑗 ) )
10 8 9 breq12d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝐵𝑘 ) ≤ ( 𝐴𝑘 ) ↔ ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) ) )
11 10 cbvrexvw ( ∃ 𝑘𝑋 ( 𝐵𝑘 ) ≤ ( 𝐴𝑘 ) ↔ ∃ 𝑗𝑋 ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) )
12 rexn0 ( ∃ 𝑘𝑋 ( 𝐵𝑘 ) ≤ ( 𝐴𝑘 ) → 𝑋 ≠ ∅ )
13 11 12 sylbir ( ∃ 𝑗𝑋 ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) → 𝑋 ≠ ∅ )
14 6 13 syl ( 𝜑𝑋 ≠ ∅ )
15 3 adantr ( ( 𝜑𝑋 ≠ ∅ ) → 𝑋 ∈ Fin )
16 simpr ( ( 𝜑𝑋 ≠ ∅ ) → 𝑋 ≠ ∅ )
17 4 adantr ( ( 𝜑𝑋 ≠ ∅ ) → 𝐴 : 𝑋 ⟶ ℝ )
18 5 adantr ( ( 𝜑𝑋 ≠ ∅ ) → 𝐵 : 𝑋 ⟶ ℝ )
19 2 15 16 17 18 hoidmvn0val ( ( 𝜑𝑋 ≠ ∅ ) → ( 𝐴 ( 𝐿𝑋 ) 𝐵 ) = ∏ 𝑘𝑋 ( vol ‘ ( ( 𝐴𝑘 ) [,) ( 𝐵𝑘 ) ) ) )
20 6 adantr ( ( 𝜑𝑋 ≠ ∅ ) → ∃ 𝑗𝑋 ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) )
21 nfv 𝑗 𝑋 ≠ ∅
22 1 21 nfan 𝑗 ( 𝜑𝑋 ≠ ∅ )
23 nfv 𝑗𝑘𝑋 ( vol ‘ ( ( 𝐴𝑘 ) [,) ( 𝐵𝑘 ) ) ) = 0
24 nfv 𝑘 ( 𝜑𝑗𝑋 ∧ ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) )
25 nfcv 𝑘 ( vol ‘ ( ( 𝐴𝑗 ) [,) ( 𝐵𝑗 ) ) )
26 3 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑗𝑋 ∧ ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) ) → 𝑋 ∈ Fin )
27 4 ffvelrnda ( ( 𝜑𝑘𝑋 ) → ( 𝐴𝑘 ) ∈ ℝ )
28 5 ffvelrnda ( ( 𝜑𝑘𝑋 ) → ( 𝐵𝑘 ) ∈ ℝ )
29 volicore ( ( ( 𝐴𝑘 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐵𝑘 ) ∈ ℝ ) → ( vol ‘ ( ( 𝐴𝑘 ) [,) ( 𝐵𝑘 ) ) ) ∈ ℝ )
30 27 28 29 syl2anc ( ( 𝜑𝑘𝑋 ) → ( vol ‘ ( ( 𝐴𝑘 ) [,) ( 𝐵𝑘 ) ) ) ∈ ℝ )
31 30 recnd ( ( 𝜑𝑘𝑋 ) → ( vol ‘ ( ( 𝐴𝑘 ) [,) ( 𝐵𝑘 ) ) ) ∈ ℂ )
32 31 3ad2antl1 ( ( ( 𝜑𝑗𝑋 ∧ ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) ) ∧ 𝑘𝑋 ) → ( vol ‘ ( ( 𝐴𝑘 ) [,) ( 𝐵𝑘 ) ) ) ∈ ℂ )
33 9 8 oveq12d ( 𝑘 = 𝑗 → ( ( 𝐴𝑘 ) [,) ( 𝐵𝑘 ) ) = ( ( 𝐴𝑗 ) [,) ( 𝐵𝑗 ) ) )
34 33 fveq2d ( 𝑘 = 𝑗 → ( vol ‘ ( ( 𝐴𝑘 ) [,) ( 𝐵𝑘 ) ) ) = ( vol ‘ ( ( 𝐴𝑗 ) [,) ( 𝐵𝑗 ) ) ) )
35 simp2 ( ( 𝜑𝑗𝑋 ∧ ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) ) → 𝑗𝑋 )
36 4 ffvelrnda ( ( 𝜑𝑗𝑋 ) → ( 𝐴𝑗 ) ∈ ℝ )
37 36 3adant3 ( ( 𝜑𝑗𝑋 ∧ ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) ) → ( 𝐴𝑗 ) ∈ ℝ )
38 5 ffvelrnda ( ( 𝜑𝑗𝑋 ) → ( 𝐵𝑗 ) ∈ ℝ )
39 38 3adant3 ( ( 𝜑𝑗𝑋 ∧ ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) ) → ( 𝐵𝑗 ) ∈ ℝ )
40 volico ( ( ( 𝐴𝑗 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐵𝑗 ) ∈ ℝ ) → ( vol ‘ ( ( 𝐴𝑗 ) [,) ( 𝐵𝑗 ) ) ) = if ( ( 𝐴𝑗 ) < ( 𝐵𝑗 ) , ( ( 𝐵𝑗 ) − ( 𝐴𝑗 ) ) , 0 ) )
41 37 39 40 syl2anc ( ( 𝜑𝑗𝑋 ∧ ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) ) → ( vol ‘ ( ( 𝐴𝑗 ) [,) ( 𝐵𝑗 ) ) ) = if ( ( 𝐴𝑗 ) < ( 𝐵𝑗 ) , ( ( 𝐵𝑗 ) − ( 𝐴𝑗 ) ) , 0 ) )
42 simp3 ( ( 𝜑𝑗𝑋 ∧ ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) ) → ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) )
43 39 37 lenltd ( ( 𝜑𝑗𝑋 ∧ ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) ) → ( ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) ↔ ¬ ( 𝐴𝑗 ) < ( 𝐵𝑗 ) ) )
44 42 43 mpbid ( ( 𝜑𝑗𝑋 ∧ ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) ) → ¬ ( 𝐴𝑗 ) < ( 𝐵𝑗 ) )
45 44 iffalsed ( ( 𝜑𝑗𝑋 ∧ ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) ) → if ( ( 𝐴𝑗 ) < ( 𝐵𝑗 ) , ( ( 𝐵𝑗 ) − ( 𝐴𝑗 ) ) , 0 ) = 0 )
46 41 45 eqtrd ( ( 𝜑𝑗𝑋 ∧ ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) ) → ( vol ‘ ( ( 𝐴𝑗 ) [,) ( 𝐵𝑗 ) ) ) = 0 )
47 24 25 26 32 34 35 46 fprod0 ( ( 𝜑𝑗𝑋 ∧ ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) ) → ∏ 𝑘𝑋 ( vol ‘ ( ( 𝐴𝑘 ) [,) ( 𝐵𝑘 ) ) ) = 0 )
48 47 3adant1r ( ( ( 𝜑𝑋 ≠ ∅ ) ∧ 𝑗𝑋 ∧ ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) ) → ∏ 𝑘𝑋 ( vol ‘ ( ( 𝐴𝑘 ) [,) ( 𝐵𝑘 ) ) ) = 0 )
49 48 3exp ( ( 𝜑𝑋 ≠ ∅ ) → ( 𝑗𝑋 → ( ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) → ∏ 𝑘𝑋 ( vol ‘ ( ( 𝐴𝑘 ) [,) ( 𝐵𝑘 ) ) ) = 0 ) ) )
50 22 23 49 rexlimd ( ( 𝜑𝑋 ≠ ∅ ) → ( ∃ 𝑗𝑋 ( 𝐵𝑗 ) ≤ ( 𝐴𝑗 ) → ∏ 𝑘𝑋 ( vol ‘ ( ( 𝐴𝑘 ) [,) ( 𝐵𝑘 ) ) ) = 0 ) )
51 20 50 mpd ( ( 𝜑𝑋 ≠ ∅ ) → ∏ 𝑘𝑋 ( vol ‘ ( ( 𝐴𝑘 ) [,) ( 𝐵𝑘 ) ) ) = 0 )
52 eqidd ( ( 𝜑𝑋 ≠ ∅ ) → 0 = 0 )
53 19 51 52 3eqtrd ( ( 𝜑𝑋 ≠ ∅ ) → ( 𝐴 ( 𝐿𝑋 ) 𝐵 ) = 0 )
54 7 14 53 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝐴 ( 𝐿𝑋 ) 𝐵 ) = 0 )