Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ssel |
⊢ ( 𝐴 ⊆ I → ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 → 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ) ) |
2 |
|
vex |
⊢ 𝑥 ∈ V |
3 |
|
vex |
⊢ 𝑦 ∈ V |
4 |
2 3
|
opeldm |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ dom 𝐴 ) |
5 |
1 4
|
jca2 |
⊢ ( 𝐴 ⊆ I → ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 → ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐴 ) ) ) |
6 |
2 3
|
opelrn |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ran 𝐴 ) |
7 |
1 6
|
jca2 |
⊢ ( 𝐴 ⊆ I → ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 → ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐴 ) ) ) |
8 |
5 7
|
jcad |
⊢ ( 𝐴 ⊆ I → ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 → ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐴 ) ∧ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐴 ) ) ) ) |
9 |
|
anandi |
⊢ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ∧ ( 𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐴 ) ) ↔ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐴 ) ∧ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐴 ) ) ) |
10 |
8 9
|
syl6ibr |
⊢ ( 𝐴 ⊆ I → ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 → ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ∧ ( 𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐴 ) ) ) ) |
11 |
|
df-br |
⊢ ( 𝑥 I 𝑦 ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ) |
12 |
3
|
ideq |
⊢ ( 𝑥 I 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦 ) |
13 |
11 12
|
bitr3i |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ↔ 𝑥 = 𝑦 ) |
14 |
2
|
eldm2 |
⊢ ( 𝑥 ∈ dom 𝐴 ↔ ∃ 𝑦 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 ) |
15 |
|
opeq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → 〈 𝑥 , 𝑥 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
16 |
15
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 〈 𝑥 , 𝑥 〉 ∈ 𝐴 ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 ) ) |
17 |
16
|
biimprcd |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 → ( 𝑥 = 𝑦 → 〈 𝑥 , 𝑥 〉 ∈ 𝐴 ) ) |
18 |
13 17
|
syl5bi |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 → ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I → 〈 𝑥 , 𝑥 〉 ∈ 𝐴 ) ) |
19 |
1 18
|
sylcom |
⊢ ( 𝐴 ⊆ I → ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 → 〈 𝑥 , 𝑥 〉 ∈ 𝐴 ) ) |
20 |
19
|
exlimdv |
⊢ ( 𝐴 ⊆ I → ( ∃ 𝑦 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 → 〈 𝑥 , 𝑥 〉 ∈ 𝐴 ) ) |
21 |
14 20
|
syl5bi |
⊢ ( 𝐴 ⊆ I → ( 𝑥 ∈ dom 𝐴 → 〈 𝑥 , 𝑥 〉 ∈ 𝐴 ) ) |
22 |
16
|
imbi2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑥 ∈ dom 𝐴 → 〈 𝑥 , 𝑥 〉 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝑥 ∈ dom 𝐴 → 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 ) ) ) |
23 |
21 22
|
syl5ibcom |
⊢ ( 𝐴 ⊆ I → ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 ∈ dom 𝐴 → 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 ) ) ) |
24 |
23
|
imp |
⊢ ( ( 𝐴 ⊆ I ∧ 𝑥 = 𝑦 ) → ( 𝑥 ∈ dom 𝐴 → 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 ) ) |
25 |
24
|
adantrd |
⊢ ( ( 𝐴 ⊆ I ∧ 𝑥 = 𝑦 ) → ( ( 𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐴 ) → 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 ) ) |
26 |
25
|
ex |
⊢ ( 𝐴 ⊆ I → ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐴 ) → 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 ) ) ) |
27 |
13 26
|
syl5bi |
⊢ ( 𝐴 ⊆ I → ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I → ( ( 𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐴 ) → 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 ) ) ) |
28 |
27
|
impd |
⊢ ( 𝐴 ⊆ I → ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ∧ ( 𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐴 ) ) → 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 ) ) |
29 |
10 28
|
impbid |
⊢ ( 𝐴 ⊆ I → ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 ↔ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ∧ ( 𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐴 ) ) ) ) |
30 |
|
opelinxp |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ ( I ∩ ( dom 𝐴 × ran 𝐴 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐴 ) ∧ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ) ) |
31 |
30
|
biancomi |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ ( I ∩ ( dom 𝐴 × ran 𝐴 ) ) ↔ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ∧ ( 𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐴 ) ) ) |
32 |
29 31
|
bitr4di |
⊢ ( 𝐴 ⊆ I → ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ ( I ∩ ( dom 𝐴 × ran 𝐴 ) ) ) ) |
33 |
32
|
alrimivv |
⊢ ( 𝐴 ⊆ I → ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ ( I ∩ ( dom 𝐴 × ran 𝐴 ) ) ) ) |
34 |
|
reli |
⊢ Rel I |
35 |
|
relss |
⊢ ( 𝐴 ⊆ I → ( Rel I → Rel 𝐴 ) ) |
36 |
34 35
|
mpi |
⊢ ( 𝐴 ⊆ I → Rel 𝐴 ) |
37 |
|
relinxp |
⊢ Rel ( I ∩ ( dom 𝐴 × ran 𝐴 ) ) |
38 |
|
eqrel |
⊢ ( ( Rel 𝐴 ∧ Rel ( I ∩ ( dom 𝐴 × ran 𝐴 ) ) ) → ( 𝐴 = ( I ∩ ( dom 𝐴 × ran 𝐴 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ ( I ∩ ( dom 𝐴 × ran 𝐴 ) ) ) ) ) |
39 |
36 37 38
|
sylancl |
⊢ ( 𝐴 ⊆ I → ( 𝐴 = ( I ∩ ( dom 𝐴 × ran 𝐴 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝐴 ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ ( I ∩ ( dom 𝐴 × ran 𝐴 ) ) ) ) ) |
40 |
33 39
|
mpbird |
⊢ ( 𝐴 ⊆ I → 𝐴 = ( I ∩ ( dom 𝐴 × ran 𝐴 ) ) ) |
41 |
|
inss1 |
⊢ ( I ∩ ( dom 𝐴 × ran 𝐴 ) ) ⊆ I |
42 |
|
sseq1 |
⊢ ( 𝐴 = ( I ∩ ( dom 𝐴 × ran 𝐴 ) ) → ( 𝐴 ⊆ I ↔ ( I ∩ ( dom 𝐴 × ran 𝐴 ) ) ⊆ I ) ) |
43 |
41 42
|
mpbiri |
⊢ ( 𝐴 = ( I ∩ ( dom 𝐴 × ran 𝐴 ) ) → 𝐴 ⊆ I ) |
44 |
40 43
|
impbii |
⊢ ( 𝐴 ⊆ I ↔ 𝐴 = ( I ∩ ( dom 𝐴 × ran 𝐴 ) ) ) |