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Theorem iundjiunlem

Description: The sets in the sequence F are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020)

Ref Expression
Hypotheses iundjiunlem.z 𝑍 = ( ℤ𝑁 )
iundjiunlem.f 𝐹 = ( 𝑛𝑍 ↦ ( ( 𝐸𝑛 ) ∖ 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝑛 ) ( 𝐸𝑖 ) ) )
iundjiunlem.j ( 𝜑𝐽𝑍 )
iundjiunlem.k ( 𝜑𝐾𝑍 )
iundjiunlem.lt ( 𝜑𝐽 < 𝐾 )
Assertion iundjiunlem ( 𝜑 → ( ( 𝐹𝐽 ) ∩ ( 𝐹𝐾 ) ) = ∅ )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 iundjiunlem.z 𝑍 = ( ℤ𝑁 )
2 iundjiunlem.f 𝐹 = ( 𝑛𝑍 ↦ ( ( 𝐸𝑛 ) ∖ 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝑛 ) ( 𝐸𝑖 ) ) )
3 iundjiunlem.j ( 𝜑𝐽𝑍 )
4 iundjiunlem.k ( 𝜑𝐾𝑍 )
5 iundjiunlem.lt ( 𝜑𝐽 < 𝐾 )
6 incom ( ( 𝐹𝐽 ) ∩ ( 𝐹𝐾 ) ) = ( ( 𝐹𝐾 ) ∩ ( 𝐹𝐽 ) )
7 simpl ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝐹𝐾 ) ) → 𝜑 )
8 simpr ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝐹𝐾 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐹𝐾 ) )
9 fveq2 ( 𝑛 = 𝐾 → ( 𝐸𝑛 ) = ( 𝐸𝐾 ) )
10 oveq2 ( 𝑛 = 𝐾 → ( 𝑁 ..^ 𝑛 ) = ( 𝑁 ..^ 𝐾 ) )
11 10 iuneq1d ( 𝑛 = 𝐾 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝑛 ) ( 𝐸𝑖 ) = 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝐾 ) ( 𝐸𝑖 ) )
12 9 11 difeq12d ( 𝑛 = 𝐾 → ( ( 𝐸𝑛 ) ∖ 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝑛 ) ( 𝐸𝑖 ) ) = ( ( 𝐸𝐾 ) ∖ 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝐾 ) ( 𝐸𝑖 ) ) )
13 fvex ( 𝐸𝐾 ) ∈ V
14 13 difexi ( ( 𝐸𝐾 ) ∖ 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝐾 ) ( 𝐸𝑖 ) ) ∈ V
15 12 2 14 fvmpt ( 𝐾𝑍 → ( 𝐹𝐾 ) = ( ( 𝐸𝐾 ) ∖ 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝐾 ) ( 𝐸𝑖 ) ) )
16 4 15 syl ( 𝜑 → ( 𝐹𝐾 ) = ( ( 𝐸𝐾 ) ∖ 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝐾 ) ( 𝐸𝑖 ) ) )
17 16 adantr ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝐹𝐾 ) ) → ( 𝐹𝐾 ) = ( ( 𝐸𝐾 ) ∖ 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝐾 ) ( 𝐸𝑖 ) ) )
18 8 17 eleqtrd ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝐹𝐾 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( 𝐸𝐾 ) ∖ 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝐾 ) ( 𝐸𝑖 ) ) )
19 18 eldifbd ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝐹𝐾 ) ) → ¬ 𝑥 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝐾 ) ( 𝐸𝑖 ) )
20 3 1 eleqtrdi ( 𝜑𝐽 ∈ ( ℤ𝑁 ) )
21 1 4 eluzelz2d ( 𝜑𝐾 ∈ ℤ )
22 20 21 5 elfzod ( 𝜑𝐽 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝐾 ) )
23 fveq2 ( 𝑖 = 𝐽 → ( 𝐸𝑖 ) = ( 𝐸𝐽 ) )
24 23 ssiun2s ( 𝐽 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝐾 ) → ( 𝐸𝐽 ) ⊆ 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝐾 ) ( 𝐸𝑖 ) )
25 22 24 syl ( 𝜑 → ( 𝐸𝐽 ) ⊆ 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝐾 ) ( 𝐸𝑖 ) )
26 25 ssneld ( 𝜑 → ( ¬ 𝑥 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝐾 ) ( 𝐸𝑖 ) → ¬ 𝑥 ∈ ( 𝐸𝐽 ) ) )
27 7 19 26 sylc ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝐹𝐾 ) ) → ¬ 𝑥 ∈ ( 𝐸𝐽 ) )
28 eldifi ( 𝑥 ∈ ( ( 𝐸𝐽 ) ∖ 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝐽 ) ( 𝐸𝑖 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐸𝐽 ) )
29 27 28 nsyl ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝐹𝐾 ) ) → ¬ 𝑥 ∈ ( ( 𝐸𝐽 ) ∖ 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝐽 ) ( 𝐸𝑖 ) ) )
30 fveq2 ( 𝑛 = 𝐽 → ( 𝐸𝑛 ) = ( 𝐸𝐽 ) )
31 oveq2 ( 𝑛 = 𝐽 → ( 𝑁 ..^ 𝑛 ) = ( 𝑁 ..^ 𝐽 ) )
32 31 iuneq1d ( 𝑛 = 𝐽 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝑛 ) ( 𝐸𝑖 ) = 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝐽 ) ( 𝐸𝑖 ) )
33 30 32 difeq12d ( 𝑛 = 𝐽 → ( ( 𝐸𝑛 ) ∖ 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝑛 ) ( 𝐸𝑖 ) ) = ( ( 𝐸𝐽 ) ∖ 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝐽 ) ( 𝐸𝑖 ) ) )
34 fvex ( 𝐸𝐽 ) ∈ V
35 34 difexi ( ( 𝐸𝐽 ) ∖ 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝐽 ) ( 𝐸𝑖 ) ) ∈ V
36 33 2 35 fvmpt ( 𝐽𝑍 → ( 𝐹𝐽 ) = ( ( 𝐸𝐽 ) ∖ 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝐽 ) ( 𝐸𝑖 ) ) )
37 3 36 syl ( 𝜑 → ( 𝐹𝐽 ) = ( ( 𝐸𝐽 ) ∖ 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝐽 ) ( 𝐸𝑖 ) ) )
38 37 adantr ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝐹𝐾 ) ) → ( 𝐹𝐽 ) = ( ( 𝐸𝐽 ) ∖ 𝑖 ∈ ( 𝑁 ..^ 𝐽 ) ( 𝐸𝑖 ) ) )
39 29 38 neleqtrrd ( ( 𝜑𝑥 ∈ ( 𝐹𝐾 ) ) → ¬ 𝑥 ∈ ( 𝐹𝐽 ) )
40 39 ralrimiva ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐹𝐾 ) ¬ 𝑥 ∈ ( 𝐹𝐽 ) )
41 disj ( ( ( 𝐹𝐾 ) ∩ ( 𝐹𝐽 ) ) = ∅ ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐹𝐾 ) ¬ 𝑥 ∈ ( 𝐹𝐽 ) )
42 40 41 sylibr ( 𝜑 → ( ( 𝐹𝐾 ) ∩ ( 𝐹𝐽 ) ) = ∅ )
43 6 42 syl5eq ( 𝜑 → ( ( 𝐹𝐽 ) ∩ ( 𝐹𝐾 ) ) = ∅ )