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## Theorem mapdindp1

Description: Vector independence lemma. (Contributed by NM, 1-May-2015)

Ref Expression
Hypotheses mapdindp1.v 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
mapdindp1.p + = ( +g𝑊 )
mapdindp1.o 0 = ( 0g𝑊 )
mapdindp1.n 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑊 )
mapdindp1.w ( 𝜑𝑊 ∈ LVec )
mapdindp1.x ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
mapdindp1.y ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
mapdindp1.z ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
mapdindp1.W ( 𝜑𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
mapdindp1.e ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) )
mapdindp1.ne ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) )
mapdindp1.f ( 𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) )
Assertion mapdindp1 ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑌 + 𝑍 ) } ) )

### Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mapdindp1.v 𝑉 = ( Base ‘ 𝑊 )
2 mapdindp1.p + = ( +g𝑊 )
3 mapdindp1.o 0 = ( 0g𝑊 )
4 mapdindp1.n 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑊 )
5 mapdindp1.w ( 𝜑𝑊 ∈ LVec )
6 mapdindp1.x ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
7 mapdindp1.y ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
8 mapdindp1.z ( 𝜑𝑍 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
9 mapdindp1.W ( 𝜑𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
10 mapdindp1.e ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) )
11 mapdindp1.ne ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) )
12 mapdindp1.f ( 𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) )
13 eldifsni ( 𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) → 𝑋0 )
14 6 13 syl ( 𝜑𝑋0 )
15 lveclmod ( 𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod )
16 5 15 syl ( 𝜑𝑊 ∈ LMod )
17 3 4 lspsn0 ( 𝑊 ∈ LMod → ( 𝑁 ‘ { 0 } ) = { 0 } )
18 16 17 syl ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 0 } ) = { 0 } )
19 18 eqeq2d ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) = ( 𝑁 ‘ { 0 } ) ↔ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) = { 0 } ) )
20 6 eldifad ( 𝜑𝑋𝑉 )
21 1 3 4 lspsneq0 ( ( 𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ) → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ) )
22 16 20 21 syl2anc ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) = { 0 } ↔ 𝑋 = 0 ) )
23 19 22 bitrd ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) = ( 𝑁 ‘ { 0 } ) ↔ 𝑋 = 0 ) )
24 23 necon3bid ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 0 } ) ↔ 𝑋0 ) )
25 14 24 mpbird ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 0 } ) )
26 25 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑌 + 𝑍 ) = 0 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 0 } ) )
27 sneq ( ( 𝑌 + 𝑍 ) = 0 → { ( 𝑌 + 𝑍 ) } = { 0 } )
28 27 fveq2d ( ( 𝑌 + 𝑍 ) = 0 → ( 𝑁 ‘ { ( 𝑌 + 𝑍 ) } ) = ( 𝑁 ‘ { 0 } ) )
29 28 adantl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑌 + 𝑍 ) = 0 ) → ( 𝑁 ‘ { ( 𝑌 + 𝑍 ) } ) = ( 𝑁 ‘ { 0 } ) )
30 26 29 neeqtrrd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑌 + 𝑍 ) = 0 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑌 + 𝑍 ) } ) )
31 11 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑌 + 𝑍 ) ≠ 0 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) )
32 5 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑌 + 𝑍 ) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec )
33 6 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑌 + 𝑍 ) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
34 7 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑌 + 𝑍 ) ≠ 0 ) → 𝑌 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
35 8 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑌 + 𝑍 ) ≠ 0 ) → 𝑍 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
36 9 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑌 + 𝑍 ) ≠ 0 ) → 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
37 10 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑌 + 𝑍 ) ≠ 0 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) )
38 12 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑌 + 𝑍 ) ≠ 0 ) → ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) )
39 simpr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑌 + 𝑍 ) ≠ 0 ) → ( 𝑌 + 𝑍 ) ≠ 0 )
40 1 2 3 4 32 33 34 35 36 37 31 38 39 mapdindp0 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑌 + 𝑍 ) ≠ 0 ) → ( 𝑁 ‘ { ( 𝑌 + 𝑍 ) } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) )
41 31 40 neeqtrrd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑌 + 𝑍 ) ≠ 0 ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑌 + 𝑍 ) } ) )
42 30 41 pm2.61dane ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑌 + 𝑍 ) } ) )