Metamath Proof Explorer


Theorem mapdpglem24

Description: Lemma for mapdpg . Existence part - consolidate hypotheses in mapdpglem23 . (Contributed by NM, 21-Mar-2015)

Ref Expression
Hypotheses mapdpg.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
mapdpg.m 𝑀 = ( ( mapd ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
mapdpg.u 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
mapdpg.v 𝑉 = ( Base ‘ 𝑈 )
mapdpg.s = ( -g𝑈 )
mapdpg.z 0 = ( 0g𝑈 )
mapdpg.n 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑈 )
mapdpg.c 𝐶 = ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
mapdpg.f 𝐹 = ( Base ‘ 𝐶 )
mapdpg.r 𝑅 = ( -g𝐶 )
mapdpg.j 𝐽 = ( LSpan ‘ 𝐶 )
mapdpg.k ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
mapdpg.x ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
mapdpg.y ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
mapdpg.g ( 𝜑𝐺𝐹 )
mapdpg.ne ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) )
mapdpg.e ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐺 } ) )
Assertion mapdpglem24 ( 𝜑 → ∃ 𝐹 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐺 𝑅 ) } ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mapdpg.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
2 mapdpg.m 𝑀 = ( ( mapd ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
3 mapdpg.u 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4 mapdpg.v 𝑉 = ( Base ‘ 𝑈 )
5 mapdpg.s = ( -g𝑈 )
6 mapdpg.z 0 = ( 0g𝑈 )
7 mapdpg.n 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑈 )
8 mapdpg.c 𝐶 = ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 mapdpg.f 𝐹 = ( Base ‘ 𝐶 )
10 mapdpg.r 𝑅 = ( -g𝐶 )
11 mapdpg.j 𝐽 = ( LSpan ‘ 𝐶 )
12 mapdpg.k ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
13 mapdpg.x ( 𝜑𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
14 mapdpg.y ( 𝜑𝑌 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) )
15 mapdpg.g ( 𝜑𝐺𝐹 )
16 mapdpg.ne ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) )
17 mapdpg.e ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐺 } ) )
18 13 eldifad ( 𝜑𝑋𝑉 )
19 14 eldifad ( 𝜑𝑌𝑉 )
20 eqid ( LSSum ‘ 𝐶 ) = ( LSSum ‘ 𝐶 )
21 1 2 3 4 5 7 8 12 18 19 20 11 mapdpglem2 ( 𝜑 → ∃ 𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) )
22 12 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
23 18 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) → 𝑋𝑉 )
24 19 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) → 𝑌𝑉 )
25 simp2 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) )
26 eqid ( Scalar ‘ 𝑈 ) = ( Scalar ‘ 𝑈 )
27 eqid ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) = ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) )
28 eqid ( ·𝑠𝐶 ) = ( ·𝑠𝐶 )
29 15 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) → 𝐺𝐹 )
30 17 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐺 } ) )
31 1 2 3 4 5 7 8 22 23 24 20 11 9 25 26 27 28 10 29 30 mapdpglem3 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) → ∃ 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ∃ 𝑧 ∈ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) 𝑡 = ( ( 𝑔 ( ·𝑠𝐶 ) 𝐺 ) 𝑅 𝑧 ) )
32 22 3ad2ant1 ( ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ 𝑡 = ( ( 𝑔 ( ·𝑠𝐶 ) 𝐺 ) 𝑅 𝑧 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
33 23 3ad2ant1 ( ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ 𝑡 = ( ( 𝑔 ( ·𝑠𝐶 ) 𝐺 ) 𝑅 𝑧 ) ) → 𝑋𝑉 )
34 24 3ad2ant1 ( ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ 𝑡 = ( ( 𝑔 ( ·𝑠𝐶 ) 𝐺 ) 𝑅 𝑧 ) ) → 𝑌𝑉 )
35 simp12 ( ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ 𝑡 = ( ( 𝑔 ( ·𝑠𝐶 ) 𝐺 ) 𝑅 𝑧 ) ) → 𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) )
36 29 3ad2ant1 ( ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ 𝑡 = ( ( 𝑔 ( ·𝑠𝐶 ) 𝐺 ) 𝑅 𝑧 ) ) → 𝐺𝐹 )
37 30 3ad2ant1 ( ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ 𝑡 = ( ( 𝑔 ( ·𝑠𝐶 ) 𝐺 ) 𝑅 𝑧 ) ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐺 } ) )
38 16 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) )
39 38 3ad2ant1 ( ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ 𝑡 = ( ( 𝑔 ( ·𝑠𝐶 ) 𝐺 ) 𝑅 𝑧 ) ) → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) )
40 simp13 ( ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ 𝑡 = ( ( 𝑔 ( ·𝑠𝐶 ) 𝐺 ) 𝑅 𝑧 ) ) → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) )
41 eqid ( 0g ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) = ( 0g ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) )
42 simp2l ( ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ 𝑡 = ( ( 𝑔 ( ·𝑠𝐶 ) 𝐺 ) 𝑅 𝑧 ) ) → 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) )
43 simp2r ( ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ 𝑡 = ( ( 𝑔 ( ·𝑠𝐶 ) 𝐺 ) 𝑅 𝑧 ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) )
44 simp3 ( ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ 𝑡 = ( ( 𝑔 ( ·𝑠𝐶 ) 𝐺 ) 𝑅 𝑧 ) ) → 𝑡 = ( ( 𝑔 ( ·𝑠𝐶 ) 𝐺 ) 𝑅 𝑧 ) )
45 eldifsni ( 𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) → 𝑋0 )
46 13 45 syl ( 𝜑𝑋0 )
47 46 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) → 𝑋0 )
48 47 3ad2ant1 ( ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ 𝑡 = ( ( 𝑔 ( ·𝑠𝐶 ) 𝐺 ) 𝑅 𝑧 ) ) → 𝑋0 )
49 eldifsni ( 𝑌 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) → 𝑌0 )
50 14 49 syl ( 𝜑𝑌0 )
51 50 3ad2ant1 ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) → 𝑌0 )
52 51 3ad2ant1 ( ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ 𝑡 = ( ( 𝑔 ( ·𝑠𝐶 ) 𝐺 ) 𝑅 𝑧 ) ) → 𝑌0 )
53 eqid ( ( ( invr ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ‘ 𝑔 ) ( ·𝑠𝐶 ) 𝑧 ) = ( ( ( invr ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ‘ 𝑔 ) ( ·𝑠𝐶 ) 𝑧 )
54 1 2 3 4 5 7 8 32 33 34 20 11 9 35 26 27 28 10 36 37 6 39 40 41 42 43 44 48 52 53 mapdpglem23 ( ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ 𝑡 = ( ( 𝑔 ( ·𝑠𝐶 ) 𝐺 ) 𝑅 𝑧 ) ) → ∃ 𝐹 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐺 𝑅 ) } ) ) )
55 54 3exp ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) → ( ( 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) → ( 𝑡 = ( ( 𝑔 ( ·𝑠𝐶 ) 𝐺 ) 𝑅 𝑧 ) → ∃ 𝐹 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐺 𝑅 ) } ) ) ) ) )
56 55 rexlimdvv ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) → ( ∃ 𝑔 ∈ ( Base ‘ ( Scalar ‘ 𝑈 ) ) ∃ 𝑧 ∈ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) 𝑡 = ( ( 𝑔 ( ·𝑠𝐶 ) 𝐺 ) 𝑅 𝑧 ) → ∃ 𝐹 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐺 𝑅 ) } ) ) ) )
57 31 56 mpd ( ( 𝜑𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) ) → ∃ 𝐹 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐺 𝑅 ) } ) ) )
58 57 rexlimdv3a ( 𝜑 → ( ∃ 𝑡 ∈ ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) ( LSSum ‘ 𝐶 ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝑡 } ) → ∃ 𝐹 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐺 𝑅 ) } ) ) ) )
59 21 58 mpd ( 𝜑 → ∃ 𝐹 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑋 𝑌 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( 𝐺 𝑅 ) } ) ) )