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Theorem mapdpglem24

Description: Lemma for mapdpg . Existence part - consolidate hypotheses in mapdpglem23 . (Contributed by NM, 21-Mar-2015)

Ref Expression
Hypotheses mapdpg.h 
|- H = ( LHyp ` K )
mapdpg.m 
|- M = ( ( mapd ` K ) ` W )
mapdpg.u 
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
mapdpg.v 
|- V = ( Base ` U )
mapdpg.s 
|- .- = ( -g ` U )
mapdpg.z 
|- .0. = ( 0g ` U )
mapdpg.n 
|- N = ( LSpan ` U )
mapdpg.c 
|- C = ( ( LCDual ` K ) ` W )
mapdpg.f 
|- F = ( Base ` C )
mapdpg.r 
|- R = ( -g ` C )
mapdpg.j 
|- J = ( LSpan ` C )
mapdpg.k 
|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
mapdpg.x 
|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
mapdpg.y 
|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
mapdpg.g 
|- ( ph -> G e. F )
mapdpg.ne 
|- ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
mapdpg.e 
|- ( ph -> ( M ` ( N ` { X } ) ) = ( J ` { G } ) )
Assertion mapdpglem24 
|- ( ph -> E. h e. F ( ( M ` ( N ` { Y } ) ) = ( J ` { h } ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { ( G R h ) } ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mapdpg.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 mapdpg.m 
 |-  M = ( ( mapd ` K ) ` W )
3 mapdpg.u 
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
4 mapdpg.v 
 |-  V = ( Base ` U )
5 mapdpg.s 
 |-  .- = ( -g ` U )
6 mapdpg.z 
 |-  .0. = ( 0g ` U )
7 mapdpg.n 
 |-  N = ( LSpan ` U )
8 mapdpg.c 
 |-  C = ( ( LCDual ` K ) ` W )
9 mapdpg.f 
 |-  F = ( Base ` C )
10 mapdpg.r 
 |-  R = ( -g ` C )
11 mapdpg.j 
 |-  J = ( LSpan ` C )
12 mapdpg.k 
 |-  ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13 mapdpg.x 
 |-  ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )
14 mapdpg.y 
 |-  ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
15 mapdpg.g 
 |-  ( ph -> G e. F )
16 mapdpg.ne 
 |-  ( ph -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
17 mapdpg.e 
 |-  ( ph -> ( M ` ( N ` { X } ) ) = ( J ` { G } ) )
18 13 eldifad 
 |-  ( ph -> X e. V )
19 14 eldifad 
 |-  ( ph -> Y e. V )
20 eqid 
 |-  ( LSSum ` C ) = ( LSSum ` C )
21 1 2 3 4 5 7 8 12 18 19 20 11 mapdpglem2 
 |-  ( ph -> E. t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) )
22 12 3ad2ant1 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
23 18 3ad2ant1 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) -> X e. V )
24 19 3ad2ant1 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) -> Y e. V )
25 simp2 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) -> t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) )
26 eqid 
 |-  ( Scalar ` U ) = ( Scalar ` U )
27 eqid 
 |-  ( Base ` ( Scalar ` U ) ) = ( Base ` ( Scalar ` U ) )
28 eqid 
 |-  ( .s ` C ) = ( .s ` C )
29 15 3ad2ant1 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) -> G e. F )
30 17 3ad2ant1 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) -> ( M ` ( N ` { X } ) ) = ( J ` { G } ) )
31 1 2 3 4 5 7 8 22 23 24 20 11 9 25 26 27 28 10 29 30 mapdpglem3 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) -> E. g e. ( Base ` ( Scalar ` U ) ) E. z e. ( M ` ( N ` { Y } ) ) t = ( ( g ( .s ` C ) G ) R z ) )
32 22 3ad2ant1 
 |-  ( ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) /\ ( g e. ( Base ` ( Scalar ` U ) ) /\ z e. ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ t = ( ( g ( .s ` C ) G ) R z ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
33 23 3ad2ant1 
 |-  ( ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) /\ ( g e. ( Base ` ( Scalar ` U ) ) /\ z e. ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ t = ( ( g ( .s ` C ) G ) R z ) ) -> X e. V )
34 24 3ad2ant1 
 |-  ( ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) /\ ( g e. ( Base ` ( Scalar ` U ) ) /\ z e. ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ t = ( ( g ( .s ` C ) G ) R z ) ) -> Y e. V )
35 simp12 
 |-  ( ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) /\ ( g e. ( Base ` ( Scalar ` U ) ) /\ z e. ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ t = ( ( g ( .s ` C ) G ) R z ) ) -> t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) )
36 29 3ad2ant1 
 |-  ( ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) /\ ( g e. ( Base ` ( Scalar ` U ) ) /\ z e. ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ t = ( ( g ( .s ` C ) G ) R z ) ) -> G e. F )
37 30 3ad2ant1 
 |-  ( ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) /\ ( g e. ( Base ` ( Scalar ` U ) ) /\ z e. ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ t = ( ( g ( .s ` C ) G ) R z ) ) -> ( M ` ( N ` { X } ) ) = ( J ` { G } ) )
38 16 3ad2ant1 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
39 38 3ad2ant1 
 |-  ( ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) /\ ( g e. ( Base ` ( Scalar ` U ) ) /\ z e. ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ t = ( ( g ( .s ` C ) G ) R z ) ) -> ( N ` { X } ) =/= ( N ` { Y } ) )
40 simp13 
 |-  ( ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) /\ ( g e. ( Base ` ( Scalar ` U ) ) /\ z e. ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ t = ( ( g ( .s ` C ) G ) R z ) ) -> ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) )
41 eqid 
 |-  ( 0g ` ( Scalar ` U ) ) = ( 0g ` ( Scalar ` U ) )
42 simp2l 
 |-  ( ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) /\ ( g e. ( Base ` ( Scalar ` U ) ) /\ z e. ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ t = ( ( g ( .s ` C ) G ) R z ) ) -> g e. ( Base ` ( Scalar ` U ) ) )
43 simp2r 
 |-  ( ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) /\ ( g e. ( Base ` ( Scalar ` U ) ) /\ z e. ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ t = ( ( g ( .s ` C ) G ) R z ) ) -> z e. ( M ` ( N ` { Y } ) ) )
44 simp3 
 |-  ( ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) /\ ( g e. ( Base ` ( Scalar ` U ) ) /\ z e. ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ t = ( ( g ( .s ` C ) G ) R z ) ) -> t = ( ( g ( .s ` C ) G ) R z ) )
45 eldifsni 
 |-  ( X e. ( V \ { .0. } ) -> X =/= .0. )
46 13 45 syl 
 |-  ( ph -> X =/= .0. )
47 46 3ad2ant1 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) -> X =/= .0. )
48 47 3ad2ant1 
 |-  ( ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) /\ ( g e. ( Base ` ( Scalar ` U ) ) /\ z e. ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ t = ( ( g ( .s ` C ) G ) R z ) ) -> X =/= .0. )
49 eldifsni 
 |-  ( Y e. ( V \ { .0. } ) -> Y =/= .0. )
50 14 49 syl 
 |-  ( ph -> Y =/= .0. )
51 50 3ad2ant1 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) -> Y =/= .0. )
52 51 3ad2ant1 
 |-  ( ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) /\ ( g e. ( Base ` ( Scalar ` U ) ) /\ z e. ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ t = ( ( g ( .s ` C ) G ) R z ) ) -> Y =/= .0. )
53 eqid 
 |-  ( ( ( invr ` ( Scalar ` U ) ) ` g ) ( .s ` C ) z ) = ( ( ( invr ` ( Scalar ` U ) ) ` g ) ( .s ` C ) z )
54 1 2 3 4 5 7 8 32 33 34 20 11 9 35 26 27 28 10 36 37 6 39 40 41 42 43 44 48 52 53 mapdpglem23 
 |-  ( ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) /\ ( g e. ( Base ` ( Scalar ` U ) ) /\ z e. ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ t = ( ( g ( .s ` C ) G ) R z ) ) -> E. h e. F ( ( M ` ( N ` { Y } ) ) = ( J ` { h } ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { ( G R h ) } ) ) )
55 54 3exp 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) -> ( ( g e. ( Base ` ( Scalar ` U ) ) /\ z e. ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) -> ( t = ( ( g ( .s ` C ) G ) R z ) -> E. h e. F ( ( M ` ( N ` { Y } ) ) = ( J ` { h } ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { ( G R h ) } ) ) ) ) )
56 55 rexlimdvv 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) -> ( E. g e. ( Base ` ( Scalar ` U ) ) E. z e. ( M ` ( N ` { Y } ) ) t = ( ( g ( .s ` C ) G ) R z ) -> E. h e. F ( ( M ` ( N ` { Y } ) ) = ( J ` { h } ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { ( G R h ) } ) ) ) )
57 31 56 mpd 
 |-  ( ( ph /\ t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) ) -> E. h e. F ( ( M ` ( N ` { Y } ) ) = ( J ` { h } ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { ( G R h ) } ) ) )
58 57 rexlimdv3a 
 |-  ( ph -> ( E. t e. ( ( M ` ( N ` { X } ) ) ( LSSum ` C ) ( M ` ( N ` { Y } ) ) ) ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { t } ) -> E. h e. F ( ( M ` ( N ` { Y } ) ) = ( J ` { h } ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { ( G R h ) } ) ) ) )
59 21 58 mpd 
 |-  ( ph -> E. h e. F ( ( M ` ( N ` { Y } ) ) = ( J ` { h } ) /\ ( M ` ( N ` { ( X .- Y ) } ) ) = ( J ` { ( G R h ) } ) ) )