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Theorem metnrmlem1

Description: Lemma for metnrm . (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015)

Ref Expression
Hypotheses metdscn.f 𝐹 = ( 𝑥𝑋 ↦ inf ( ran ( 𝑦𝑆 ↦ ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ) , ℝ* , < ) )
metdscn.j 𝐽 = ( MetOpen ‘ 𝐷 )
metnrmlem.1 ( 𝜑𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) )
metnrmlem.2 ( 𝜑𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) )
metnrmlem.3 ( 𝜑𝑇 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) )
metnrmlem.4 ( 𝜑 → ( 𝑆𝑇 ) = ∅ )
Assertion metnrmlem1 ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → if ( 1 ≤ ( 𝐹𝐵 ) , 1 , ( 𝐹𝐵 ) ) ≤ ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 metdscn.f 𝐹 = ( 𝑥𝑋 ↦ inf ( ran ( 𝑦𝑆 ↦ ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ) , ℝ* , < ) )
2 metdscn.j 𝐽 = ( MetOpen ‘ 𝐷 )
3 metnrmlem.1 ( 𝜑𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) )
4 metnrmlem.2 ( 𝜑𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) )
5 metnrmlem.3 ( 𝜑𝑇 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) )
6 metnrmlem.4 ( 𝜑 → ( 𝑆𝑇 ) = ∅ )
7 1xr 1 ∈ ℝ*
8 3 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) )
9 4 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) )
10 eqid 𝐽 = 𝐽
11 10 cldss ( 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) → 𝑆 𝐽 )
12 9 11 syl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → 𝑆 𝐽 )
13 2 mopnuni ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) → 𝑋 = 𝐽 )
14 8 13 syl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → 𝑋 = 𝐽 )
15 12 14 sseqtrrd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → 𝑆𝑋 )
16 1 metdsf ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) → 𝐹 : 𝑋 ⟶ ( 0 [,] +∞ ) )
17 8 15 16 syl2anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → 𝐹 : 𝑋 ⟶ ( 0 [,] +∞ ) )
18 5 adantr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → 𝑇 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) )
19 10 cldss ( 𝑇 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) → 𝑇 𝐽 )
20 18 19 syl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → 𝑇 𝐽 )
21 20 14 sseqtrrd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → 𝑇𝑋 )
22 simprr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → 𝐵𝑇 )
23 21 22 sseldd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → 𝐵𝑋 )
24 17 23 ffvelrnd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → ( 𝐹𝐵 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) )
25 eliccxr ( ( 𝐹𝐵 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) → ( 𝐹𝐵 ) ∈ ℝ* )
26 24 25 syl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → ( 𝐹𝐵 ) ∈ ℝ* )
27 ifcl ( ( 1 ∈ ℝ* ∧ ( 𝐹𝐵 ) ∈ ℝ* ) → if ( 1 ≤ ( 𝐹𝐵 ) , 1 , ( 𝐹𝐵 ) ) ∈ ℝ* )
28 7 26 27 sylancr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → if ( 1 ≤ ( 𝐹𝐵 ) , 1 , ( 𝐹𝐵 ) ) ∈ ℝ* )
29 simprl ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → 𝐴𝑆 )
30 15 29 sseldd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → 𝐴𝑋 )
31 xmetcl ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋 ) → ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) ∈ ℝ* )
32 8 30 23 31 syl3anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) ∈ ℝ* )
33 xrmin2 ( ( 1 ∈ ℝ* ∧ ( 𝐹𝐵 ) ∈ ℝ* ) → if ( 1 ≤ ( 𝐹𝐵 ) , 1 , ( 𝐹𝐵 ) ) ≤ ( 𝐹𝐵 ) )
34 7 26 33 sylancr ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → if ( 1 ≤ ( 𝐹𝐵 ) , 1 , ( 𝐹𝐵 ) ) ≤ ( 𝐹𝐵 ) )
35 1 metdstri ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ ( 𝐵𝑋𝐴𝑋 ) ) → ( 𝐹𝐵 ) ≤ ( ( 𝐵 𝐷 𝐴 ) +𝑒 ( 𝐹𝐴 ) ) )
36 8 15 23 30 35 syl22anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → ( 𝐹𝐵 ) ≤ ( ( 𝐵 𝐷 𝐴 ) +𝑒 ( 𝐹𝐴 ) ) )
37 xmetsym ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋 ) → ( 𝐵 𝐷 𝐴 ) = ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) )
38 8 23 30 37 syl3anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → ( 𝐵 𝐷 𝐴 ) = ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) )
39 1 metds0 ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆 ) → ( 𝐹𝐴 ) = 0 )
40 8 15 29 39 syl3anc ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → ( 𝐹𝐴 ) = 0 )
41 38 40 oveq12d ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → ( ( 𝐵 𝐷 𝐴 ) +𝑒 ( 𝐹𝐴 ) ) = ( ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) +𝑒 0 ) )
42 32 xaddid1d ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → ( ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) +𝑒 0 ) = ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) )
43 41 42 eqtrd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → ( ( 𝐵 𝐷 𝐴 ) +𝑒 ( 𝐹𝐴 ) ) = ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) )
44 36 43 breqtrd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → ( 𝐹𝐵 ) ≤ ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) )
45 28 26 32 34 44 xrletrd ( ( 𝜑 ∧ ( 𝐴𝑆𝐵𝑇 ) ) → if ( 1 ≤ ( 𝐹𝐵 ) , 1 , ( 𝐹𝐵 ) ) ≤ ( 𝐴 𝐷 𝐵 ) )