Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
numclwwlk.v |
⊢ 𝑉 = ( Vtx ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
numclwwlk.q |
⊢ 𝑄 = ( 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑤 ∈ ( 𝑛 WWalksN 𝐺 ) ∣ ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘ 𝑤 ) ≠ 𝑣 ) } ) |
3 |
|
numclwwlk.h |
⊢ 𝐻 = ( 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↦ { 𝑤 ∈ ( 𝑣 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑛 ) ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑛 − 2 ) ) ≠ 𝑣 } ) |
4 |
|
eluzelcn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
5 |
|
2cnd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → 2 ∈ ℂ ) |
6 |
4 5
|
npcand |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → ( ( 𝑁 − 2 ) + 2 ) = 𝑁 ) |
7 |
6
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → 𝑁 = ( ( 𝑁 − 2 ) + 2 ) ) |
8 |
7
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → 𝑁 = ( ( 𝑁 − 2 ) + 2 ) ) |
9 |
8
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → 𝑁 = ( ( 𝑁 − 2 ) + 2 ) ) |
10 |
9
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → ( 𝑋 𝐻 𝑁 ) = ( 𝑋 𝐻 ( ( 𝑁 − 2 ) + 2 ) ) ) |
11 |
10
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑋 𝐻 𝑁 ) ) = ( ♯ ‘ ( 𝑋 𝐻 ( ( 𝑁 − 2 ) + 2 ) ) ) ) |
12 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → 𝐺 ∈ FriendGraph ) |
13 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝑉 ) |
14 |
|
uz3m2nn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → ( 𝑁 − 2 ) ∈ ℕ ) |
15 |
14
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( 𝑁 − 2 ) ∈ ℕ ) |
16 |
15
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → ( 𝑁 − 2 ) ∈ ℕ ) |
17 |
1 2 3
|
numclwwlk2lem3 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 − 2 ) ∈ ℕ ) → ( ♯ ‘ ( 𝑋 𝑄 ( 𝑁 − 2 ) ) ) = ( ♯ ‘ ( 𝑋 𝐻 ( ( 𝑁 − 2 ) + 2 ) ) ) ) |
18 |
12 13 16 17
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑋 𝑄 ( 𝑁 − 2 ) ) ) = ( ♯ ‘ ( 𝑋 𝐻 ( ( 𝑁 − 2 ) + 2 ) ) ) ) |
19 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ) |
20 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → 𝑉 ∈ Fin ) |
21 |
19 20
|
anim12i |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin ) ) |
22 |
14
|
anim2i |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 − 2 ) ∈ ℕ ) ) |
23 |
22
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 − 2 ) ∈ ℕ ) ) |
24 |
23
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 − 2 ) ∈ ℕ ) ) |
25 |
1 2
|
numclwwlkqhash |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 − 2 ) ∈ ℕ ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑋 𝑄 ( 𝑁 − 2 ) ) ) = ( ( 𝐾 ↑ ( 𝑁 − 2 ) ) − ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) ) ) |
26 |
21 24 25
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑋 𝑄 ( 𝑁 − 2 ) ) ) = ( ( 𝐾 ↑ ( 𝑁 − 2 ) ) − ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) ) ) |
27 |
11 18 26
|
3eqtr2d |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑋 𝐻 𝑁 ) ) = ( ( 𝐾 ↑ ( 𝑁 − 2 ) ) − ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) ) ) |