Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nvdif.1 |
⊢ 𝑋 = ( BaseSet ‘ 𝑈 ) |
2 |
|
nvdif.2 |
⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) |
3 |
|
nvdif.4 |
⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) |
4 |
|
nvdif.6 |
⊢ 𝑁 = ( normCV ‘ 𝑈 ) |
5 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → 𝑈 ∈ NrmCVec ) |
6 |
|
neg1cn |
⊢ - 1 ∈ ℂ |
7 |
6
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → - 1 ∈ ℂ ) |
8 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → 𝐵 ∈ 𝑋 ) |
9 |
1 3
|
nvscl |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ - 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( - 1 𝑆 𝐴 ) ∈ 𝑋 ) |
10 |
6 9
|
mp3an2 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( - 1 𝑆 𝐴 ) ∈ 𝑋 ) |
11 |
10
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( - 1 𝑆 𝐴 ) ∈ 𝑋 ) |
12 |
1 2 3
|
nvdi |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( - 1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ( - 1 𝑆 𝐴 ) ∈ 𝑋 ) ) → ( - 1 𝑆 ( 𝐵 𝐺 ( - 1 𝑆 𝐴 ) ) ) = ( ( - 1 𝑆 𝐵 ) 𝐺 ( - 1 𝑆 ( - 1 𝑆 𝐴 ) ) ) ) |
13 |
5 7 8 11 12
|
syl13anc |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( - 1 𝑆 ( 𝐵 𝐺 ( - 1 𝑆 𝐴 ) ) ) = ( ( - 1 𝑆 𝐵 ) 𝐺 ( - 1 𝑆 ( - 1 𝑆 𝐴 ) ) ) ) |
14 |
1 3
|
nvnegneg |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( - 1 𝑆 ( - 1 𝑆 𝐴 ) ) = 𝐴 ) |
15 |
14
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( - 1 𝑆 ( - 1 𝑆 𝐴 ) ) = 𝐴 ) |
16 |
15
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( ( - 1 𝑆 𝐵 ) 𝐺 ( - 1 𝑆 ( - 1 𝑆 𝐴 ) ) ) = ( ( - 1 𝑆 𝐵 ) 𝐺 𝐴 ) ) |
17 |
1 3
|
nvscl |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ - 1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( - 1 𝑆 𝐵 ) ∈ 𝑋 ) |
18 |
6 17
|
mp3an2 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( - 1 𝑆 𝐵 ) ∈ 𝑋 ) |
19 |
18
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( - 1 𝑆 𝐵 ) ∈ 𝑋 ) |
20 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → 𝐴 ∈ 𝑋 ) |
21 |
1 2
|
nvcom |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( - 1 𝑆 𝐵 ) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( - 1 𝑆 𝐵 ) 𝐺 𝐴 ) = ( 𝐴 𝐺 ( - 1 𝑆 𝐵 ) ) ) |
22 |
5 19 20 21
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( ( - 1 𝑆 𝐵 ) 𝐺 𝐴 ) = ( 𝐴 𝐺 ( - 1 𝑆 𝐵 ) ) ) |
23 |
13 16 22
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( - 1 𝑆 ( 𝐵 𝐺 ( - 1 𝑆 𝐴 ) ) ) = ( 𝐴 𝐺 ( - 1 𝑆 𝐵 ) ) ) |
24 |
23
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( - 1 𝑆 ( 𝐵 𝐺 ( - 1 𝑆 𝐴 ) ) ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 𝐺 ( - 1 𝑆 𝐵 ) ) ) ) |
25 |
1 2
|
nvgcl |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ( - 1 𝑆 𝐴 ) ∈ 𝑋 ) → ( 𝐵 𝐺 ( - 1 𝑆 𝐴 ) ) ∈ 𝑋 ) |
26 |
5 8 11 25
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐵 𝐺 ( - 1 𝑆 𝐴 ) ) ∈ 𝑋 ) |
27 |
1 3 4
|
nvm1 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( 𝐵 𝐺 ( - 1 𝑆 𝐴 ) ) ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( - 1 𝑆 ( 𝐵 𝐺 ( - 1 𝑆 𝐴 ) ) ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝐵 𝐺 ( - 1 𝑆 𝐴 ) ) ) ) |
28 |
5 26 27
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( - 1 𝑆 ( 𝐵 𝐺 ( - 1 𝑆 𝐴 ) ) ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝐵 𝐺 ( - 1 𝑆 𝐴 ) ) ) ) |
29 |
24 28
|
eqtr3d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝐴 𝐺 ( - 1 𝑆 𝐵 ) ) ) = ( 𝑁 ‘ ( 𝐵 𝐺 ( - 1 𝑆 𝐴 ) ) ) ) |