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Theorem phtpcco2

Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015)

Ref Expression
Hypotheses phtpcco2.f ( 𝜑𝐹 ( ≃ph𝐽 ) 𝐺 )
phtpcco2.p ( 𝜑𝑃 ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) )
Assertion phtpcco2 ( 𝜑 → ( 𝑃𝐹 ) ( ≃ph𝐾 ) ( 𝑃𝐺 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 phtpcco2.f ( 𝜑𝐹 ( ≃ph𝐽 ) 𝐺 )
2 phtpcco2.p ( 𝜑𝑃 ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) )
3 isphtpc ( 𝐹 ( ≃ph𝐽 ) 𝐺 ↔ ( 𝐹 ∈ ( II Cn 𝐽 ) ∧ 𝐺 ∈ ( II Cn 𝐽 ) ∧ ( 𝐹 ( PHtpy ‘ 𝐽 ) 𝐺 ) ≠ ∅ ) )
4 1 3 sylib ( 𝜑 → ( 𝐹 ∈ ( II Cn 𝐽 ) ∧ 𝐺 ∈ ( II Cn 𝐽 ) ∧ ( 𝐹 ( PHtpy ‘ 𝐽 ) 𝐺 ) ≠ ∅ ) )
5 4 simp1d ( 𝜑𝐹 ∈ ( II Cn 𝐽 ) )
6 cnco ( ( 𝐹 ∈ ( II Cn 𝐽 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) ) → ( 𝑃𝐹 ) ∈ ( II Cn 𝐾 ) )
7 5 2 6 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝑃𝐹 ) ∈ ( II Cn 𝐾 ) )
8 4 simp2d ( 𝜑𝐺 ∈ ( II Cn 𝐽 ) )
9 cnco ( ( 𝐺 ∈ ( II Cn 𝐽 ) ∧ 𝑃 ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) ) → ( 𝑃𝐺 ) ∈ ( II Cn 𝐾 ) )
10 8 2 9 syl2anc ( 𝜑 → ( 𝑃𝐺 ) ∈ ( II Cn 𝐾 ) )
11 4 simp3d ( 𝜑 → ( 𝐹 ( PHtpy ‘ 𝐽 ) 𝐺 ) ≠ ∅ )
12 n0 ( ( 𝐹 ( PHtpy ‘ 𝐽 ) 𝐺 ) ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑓 𝑓 ∈ ( 𝐹 ( PHtpy ‘ 𝐽 ) 𝐺 ) )
13 11 12 sylib ( 𝜑 → ∃ 𝑓 𝑓 ∈ ( 𝐹 ( PHtpy ‘ 𝐽 ) 𝐺 ) )
14 5 adantr ( ( 𝜑𝑓 ∈ ( 𝐹 ( PHtpy ‘ 𝐽 ) 𝐺 ) ) → 𝐹 ∈ ( II Cn 𝐽 ) )
15 8 adantr ( ( 𝜑𝑓 ∈ ( 𝐹 ( PHtpy ‘ 𝐽 ) 𝐺 ) ) → 𝐺 ∈ ( II Cn 𝐽 ) )
16 2 adantr ( ( 𝜑𝑓 ∈ ( 𝐹 ( PHtpy ‘ 𝐽 ) 𝐺 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) )
17 simpr ( ( 𝜑𝑓 ∈ ( 𝐹 ( PHtpy ‘ 𝐽 ) 𝐺 ) ) → 𝑓 ∈ ( 𝐹 ( PHtpy ‘ 𝐽 ) 𝐺 ) )
18 14 15 16 17 phtpyco2 ( ( 𝜑𝑓 ∈ ( 𝐹 ( PHtpy ‘ 𝐽 ) 𝐺 ) ) → ( 𝑃𝑓 ) ∈ ( ( 𝑃𝐹 ) ( PHtpy ‘ 𝐾 ) ( 𝑃𝐺 ) ) )
19 18 ne0d ( ( 𝜑𝑓 ∈ ( 𝐹 ( PHtpy ‘ 𝐽 ) 𝐺 ) ) → ( ( 𝑃𝐹 ) ( PHtpy ‘ 𝐾 ) ( 𝑃𝐺 ) ) ≠ ∅ )
20 13 19 exlimddv ( 𝜑 → ( ( 𝑃𝐹 ) ( PHtpy ‘ 𝐾 ) ( 𝑃𝐺 ) ) ≠ ∅ )
21 isphtpc ( ( 𝑃𝐹 ) ( ≃ph𝐾 ) ( 𝑃𝐺 ) ↔ ( ( 𝑃𝐹 ) ∈ ( II Cn 𝐾 ) ∧ ( 𝑃𝐺 ) ∈ ( II Cn 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑃𝐹 ) ( PHtpy ‘ 𝐾 ) ( 𝑃𝐺 ) ) ≠ ∅ ) )
22 7 10 20 21 syl3anbrc ( 𝜑 → ( 𝑃𝐹 ) ( ≃ph𝐾 ) ( 𝑃𝐺 ) )