Theorem pjoml2

Description: Variation of orthomodular law. Definition in Kalmbach p. 22. (Contributed by NM, 13-Jun-2006) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	pjoml2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ) → ( 𝐴 ∨ℋ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) = 𝐵 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ⊆ 𝐵 ) )
2		id	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) )
3		fveq2	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( ⊥ ‘ 𝐴 ) = ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) )
4	3	ineq1d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∩ 𝐵 ) )
5	2 4	oveq12d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( 𝐴 ∨ℋ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∨ℋ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∩ 𝐵 ) ) )
6	5	eqeq1d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( ( 𝐴 ∨ℋ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) = 𝐵 ↔ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∨ℋ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∩ 𝐵 ) ) = 𝐵 ) )
7	1 6	imbi12d	⊢ ( 𝐴 = if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) → ( ( 𝐴 ⊆ 𝐵 → ( 𝐴 ∨ℋ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) = 𝐵 ) ↔ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ⊆ 𝐵 → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∨ℋ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∩ 𝐵 ) ) = 𝐵 ) ) )
8		sseq2	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ⊆ 𝐵 ↔ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ⊆ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) )
9		ineq2	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∩ 𝐵 ) = ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) )
10	9	oveq2d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∨ℋ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∩ 𝐵 ) ) = ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∨ℋ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ) )
11		id	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) )
12	10 11	eqeq12d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∨ℋ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∩ 𝐵 ) ) = 𝐵 ↔ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∨ℋ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ) = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) )
13	8 12	imbi12d	⊢ ( 𝐵 = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ⊆ 𝐵 → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∨ℋ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∩ 𝐵 ) ) = 𝐵 ) ↔ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ⊆ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∨ℋ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ) = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ) )
14		h0elch	⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
15	14	elimel	⊢ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∈ Cℋ
16	14	elimel	⊢ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ∈ Cℋ
17	15 16	pjoml2i	⊢ ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ⊆ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) → ( if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ∨ℋ ( ( ⊥ ‘ if ( 𝐴 ∈ Cℋ , 𝐴 , 0ℋ ) ) ∩ if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) ) ) = if ( 𝐵 ∈ Cℋ , 𝐵 , 0ℋ ) )
18	7 13 17	dedth2h	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( 𝐴 ⊆ 𝐵 → ( 𝐴 ∨ℋ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) = 𝐵 ) )
19	18	3impia	⊢ ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ) → ( 𝐴 ∨ℋ ( ( ⊥ ‘ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) = 𝐵 )