Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cnvimass |
⊢ ( ◡ 𝐺 “ 𝑥 ) ⊆ dom 𝐺 |
2 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 ∧ 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ) → 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ) |
3 |
1 2
|
fssdm |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 ∧ 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ) → ( ◡ 𝐺 “ 𝑥 ) ⊆ 𝑌 ) |
4 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 ∧ 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ) → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ) |
5 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 ∧ 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ) → 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 ) |
6 |
|
elqtop3 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 ) → ( ( ◡ 𝐺 “ 𝑥 ) ∈ ( 𝐽 qTop 𝐹 ) ↔ ( ( ◡ 𝐺 “ 𝑥 ) ⊆ 𝑌 ∧ ( ◡ 𝐹 “ ( ◡ 𝐺 “ 𝑥 ) ) ∈ 𝐽 ) ) ) |
7 |
4 5 6
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 ∧ 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ) → ( ( ◡ 𝐺 “ 𝑥 ) ∈ ( 𝐽 qTop 𝐹 ) ↔ ( ( ◡ 𝐺 “ 𝑥 ) ⊆ 𝑌 ∧ ( ◡ 𝐹 “ ( ◡ 𝐺 “ 𝑥 ) ) ∈ 𝐽 ) ) ) |
8 |
3 7
|
mpbirand |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 ∧ 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ) → ( ( ◡ 𝐺 “ 𝑥 ) ∈ ( 𝐽 qTop 𝐹 ) ↔ ( ◡ 𝐹 “ ( ◡ 𝐺 “ 𝑥 ) ) ∈ 𝐽 ) ) |
9 |
|
cnvco |
⊢ ◡ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) = ( ◡ 𝐹 ∘ ◡ 𝐺 ) |
10 |
9
|
imaeq1i |
⊢ ( ◡ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) “ 𝑥 ) = ( ( ◡ 𝐹 ∘ ◡ 𝐺 ) “ 𝑥 ) |
11 |
|
imaco |
⊢ ( ( ◡ 𝐹 ∘ ◡ 𝐺 ) “ 𝑥 ) = ( ◡ 𝐹 “ ( ◡ 𝐺 “ 𝑥 ) ) |
12 |
10 11
|
eqtri |
⊢ ( ◡ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) “ 𝑥 ) = ( ◡ 𝐹 “ ( ◡ 𝐺 “ 𝑥 ) ) |
13 |
12
|
eleq1i |
⊢ ( ( ◡ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) “ 𝑥 ) ∈ 𝐽 ↔ ( ◡ 𝐹 “ ( ◡ 𝐺 “ 𝑥 ) ) ∈ 𝐽 ) |
14 |
8 13
|
bitr4di |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 ∧ 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ) → ( ( ◡ 𝐺 “ 𝑥 ) ∈ ( 𝐽 qTop 𝐹 ) ↔ ( ◡ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) “ 𝑥 ) ∈ 𝐽 ) ) |
15 |
14
|
ralbidva |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 ∧ 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 ( ◡ 𝐺 “ 𝑥 ) ∈ ( 𝐽 qTop 𝐹 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 ( ◡ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) “ 𝑥 ) ∈ 𝐽 ) ) |
16 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 ∧ 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ) ) → 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ) |
17 |
16
|
biantrurd |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 ∧ 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 ( ◡ 𝐺 “ 𝑥 ) ∈ ( 𝐽 qTop 𝐹 ) ↔ ( 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 ( ◡ 𝐺 “ 𝑥 ) ∈ ( 𝐽 qTop 𝐹 ) ) ) ) |
18 |
|
fof |
⊢ ( 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 → 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) |
19 |
18
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 ∧ 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ) ) → 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) |
20 |
|
fco |
⊢ ( ( 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ∧ 𝐹 : 𝑋 ⟶ 𝑌 ) → ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) : 𝑋 ⟶ 𝑍 ) |
21 |
16 19 20
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 ∧ 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ) ) → ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) : 𝑋 ⟶ 𝑍 ) |
22 |
21
|
biantrurd |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 ∧ 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ) ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 ( ◡ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) “ 𝑥 ) ∈ 𝐽 ↔ ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) : 𝑋 ⟶ 𝑍 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 ( ◡ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) “ 𝑥 ) ∈ 𝐽 ) ) ) |
23 |
15 17 22
|
3bitr3d |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 ∧ 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ) ) → ( ( 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 ( ◡ 𝐺 “ 𝑥 ) ∈ ( 𝐽 qTop 𝐹 ) ) ↔ ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) : 𝑋 ⟶ 𝑍 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 ( ◡ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) “ 𝑥 ) ∈ 𝐽 ) ) ) |
24 |
|
qtoptopon |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 ) → ( 𝐽 qTop 𝐹 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) |
25 |
24
|
ad2ant2r |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 ∧ 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ) ) → ( 𝐽 qTop 𝐹 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ) |
26 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 ∧ 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ) ) → 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) |
27 |
|
iscn |
⊢ ( ( ( 𝐽 qTop 𝐹 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝑌 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) → ( 𝐺 ∈ ( ( 𝐽 qTop 𝐹 ) Cn 𝐾 ) ↔ ( 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 ( ◡ 𝐺 “ 𝑥 ) ∈ ( 𝐽 qTop 𝐹 ) ) ) ) |
28 |
25 26 27
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 ∧ 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ) ) → ( 𝐺 ∈ ( ( 𝐽 qTop 𝐹 ) Cn 𝐾 ) ↔ ( 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 ( ◡ 𝐺 “ 𝑥 ) ∈ ( 𝐽 qTop 𝐹 ) ) ) ) |
29 |
|
iscn |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) → ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) ↔ ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) : 𝑋 ⟶ 𝑍 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 ( ◡ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) “ 𝑥 ) ∈ 𝐽 ) ) ) |
30 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 ∧ 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ) ) → ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) ↔ ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) : 𝑋 ⟶ 𝑍 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 ( ◡ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) “ 𝑥 ) ∈ 𝐽 ) ) ) |
31 |
23 28 30
|
3bitr4d |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ 𝑍 ) ) ∧ ( 𝐹 : 𝑋 –onto→ 𝑌 ∧ 𝐺 : 𝑌 ⟶ 𝑍 ) ) → ( 𝐺 ∈ ( ( 𝐽 qTop 𝐹 ) Cn 𝐾 ) ↔ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ∈ ( 𝐽 Cn 𝐾 ) ) ) |