Metamath Proof Explorer


Theorem resubdi

Description: Distribution of multiplication over real subtraction. (Contributed by Steven Nguyen, 3-Jun-2023)

Ref Expression
Assertion resubdi ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 · ( 𝐵 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐵 ) − ( 𝐴 · 𝐶 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 remulcl ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) ∈ ℝ )
2 1 3adant2 ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 · 𝐶 ) ∈ ℝ )
3 simp1 ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐴 ∈ ℝ )
4 rersubcl ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 𝐶 ) ∈ ℝ )
5 4 3adant1 ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 𝐶 ) ∈ ℝ )
6 3 5 remulcld ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 · ( 𝐵 𝐶 ) ) ∈ ℝ )
7 3 recnd ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐴 ∈ ℂ )
8 simp3 ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐶 ∈ ℝ )
9 8 recnd ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐶 ∈ ℂ )
10 5 recnd ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 𝐶 ) ∈ ℂ )
11 7 9 10 adddid ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 · ( 𝐶 + ( 𝐵 𝐶 ) ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( 𝐵 𝐶 ) ) ) )
12 repncan3 ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( 𝐵 𝐶 ) ) = 𝐵 )
13 12 ancoms ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( 𝐵 𝐶 ) ) = 𝐵 )
14 13 3adant1 ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 + ( 𝐵 𝐶 ) ) = 𝐵 )
15 14 oveq2d ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 · ( 𝐶 + ( 𝐵 𝐶 ) ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
16 11 15 eqtr3d ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 · 𝐶 ) + ( 𝐴 · ( 𝐵 𝐶 ) ) ) = ( 𝐴 · 𝐵 ) )
17 2 6 16 reladdrsub ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 · ( 𝐵 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐵 ) − ( 𝐴 · 𝐶 ) ) )