Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
2 |
|
rernegcl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
3 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 0 −ℝ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
4 |
|
elre0re |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ ) |
5 |
4 4
|
readdcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 0 + 0 ) ∈ ℝ ) |
6 |
|
rernegcl |
⊢ ( ( 0 + 0 ) ∈ ℝ → ( 0 −ℝ ( 0 + 0 ) ) ∈ ℝ ) |
7 |
5 6
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 0 −ℝ ( 0 + 0 ) ) ∈ ℝ ) |
8 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 0 −ℝ ( 0 + 0 ) ) ∈ ℝ ) |
9 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
10 |
8 9
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( ( 0 −ℝ ( 0 + 0 ) ) + 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
11 |
3 10
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( ( 0 −ℝ ( 0 + 0 ) ) + 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
12 |
|
resubeulem2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 + ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( ( 0 −ℝ ( 0 + 0 ) ) + 𝐵 ) ) ) = 𝐵 ) |
13 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( ( 0 −ℝ ( 0 + 0 ) ) + 𝐵 ) ) → ( 𝐴 + 𝑥 ) = ( 𝐴 + ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( ( 0 −ℝ ( 0 + 0 ) ) + 𝐵 ) ) ) ) |
14 |
13
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑥 = ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( ( 0 −ℝ ( 0 + 0 ) ) + 𝐵 ) ) → ( ( 𝐴 + 𝑥 ) = 𝐵 ↔ ( 𝐴 + ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( ( 0 −ℝ ( 0 + 0 ) ) + 𝐵 ) ) ) = 𝐵 ) ) |
15 |
14
|
rspcev |
⊢ ( ( ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( ( 0 −ℝ ( 0 + 0 ) ) + 𝐵 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 + ( ( 0 −ℝ 𝐴 ) + ( ( 0 −ℝ ( 0 + 0 ) ) + 𝐵 ) ) ) = 𝐵 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ( 𝐴 + 𝑥 ) = 𝐵 ) |
16 |
11 12 15
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ∃ 𝑥 ∈ ℝ ( 𝐴 + 𝑥 ) = 𝐵 ) |
17 |
1 16
|
renegeulem |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ∃! 𝑥 ∈ ℝ ( 𝐴 + 𝑥 ) = 𝐵 ) |