Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
neg1cn |
⊢ - 1 ∈ ℂ |
2 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
3 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
4 |
|
nndivre |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 2 / 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
5 |
2 3 4
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 2 / 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
6 |
5
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 2 / 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
7 |
|
cxpcl |
⊢ ( ( - 1 ∈ ℂ ∧ ( 2 / 𝑁 ) ∈ ℂ ) → ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
8 |
1 6 7
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
9 |
1
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → - 1 ∈ ℂ ) |
10 |
|
neg1ne0 |
⊢ - 1 ≠ 0 |
11 |
10
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → - 1 ≠ 0 ) |
12 |
9 11 6
|
cxpne0d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ≠ 0 ) |
13 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → 𝐾 ∈ ℤ ) |
14 |
|
nnz |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ ) |
15 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
16 |
8 12 13 15
|
expsubd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) = ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) / ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) ) |
17 |
|
root1id |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) = 1 ) |
18 |
17
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) = 1 ) |
19 |
18
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) / ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) = ( 1 / ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) ) |
20 |
8 12 13
|
expclzd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ∈ ℂ ) |
21 |
8 12 13
|
expne0d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ≠ 0 ) |
22 |
|
recval |
⊢ ( ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ∈ ℂ ∧ ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ≠ 0 ) → ( 1 / ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) / ( ( abs ‘ ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
23 |
20 21 22
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 1 / ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) / ( ( abs ‘ ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
24 |
|
absexpz |
⊢ ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ∈ ℂ ∧ ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( abs ‘ ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) = ( ( abs ‘ ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ) ↑ 𝐾 ) ) |
25 |
8 12 13 24
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( abs ‘ ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) = ( ( abs ‘ ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ) ↑ 𝐾 ) ) |
26 |
|
abscxp2 |
⊢ ( ( - 1 ∈ ℂ ∧ ( 2 / 𝑁 ) ∈ ℝ ) → ( abs ‘ ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ) = ( ( abs ‘ - 1 ) ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ) |
27 |
1 5 26
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( abs ‘ ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ) = ( ( abs ‘ - 1 ) ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ) |
28 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
29 |
28
|
absnegi |
⊢ ( abs ‘ - 1 ) = ( abs ‘ 1 ) |
30 |
|
abs1 |
⊢ ( abs ‘ 1 ) = 1 |
31 |
29 30
|
eqtri |
⊢ ( abs ‘ - 1 ) = 1 |
32 |
31
|
oveq1i |
⊢ ( ( abs ‘ - 1 ) ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) = ( 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) |
33 |
27 32
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( abs ‘ ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ) = ( 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ) |
34 |
6
|
1cxpd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) = 1 ) |
35 |
33 34
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( abs ‘ ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ) = 1 ) |
36 |
35
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( abs ‘ ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ) ↑ 𝐾 ) = ( 1 ↑ 𝐾 ) ) |
37 |
|
1exp |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 1 ↑ 𝐾 ) = 1 ) |
38 |
37
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 1 ↑ 𝐾 ) = 1 ) |
39 |
25 36 38
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( abs ‘ ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) = 1 ) |
40 |
39
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( abs ‘ ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) ↑ 2 ) = ( 1 ↑ 2 ) ) |
41 |
|
sq1 |
⊢ ( 1 ↑ 2 ) = 1 |
42 |
40 41
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( abs ‘ ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) ↑ 2 ) = 1 ) |
43 |
42
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( ∗ ‘ ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) / ( ( abs ‘ ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ∗ ‘ ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) / 1 ) ) |
44 |
20
|
cjcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ∗ ‘ ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) ∈ ℂ ) |
45 |
44
|
div1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( ∗ ‘ ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) / 1 ) = ( ∗ ‘ ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) ) |
46 |
23 43 45
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 1 / ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) = ( ∗ ‘ ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) ) |
47 |
16 19 46
|
3eqtrrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ∗ ‘ ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝐾 ) ) = ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) |