Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∧ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
2 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
3 |
1 2
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∧ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
4 |
|
nn0uz |
⊢ ℕ0 = ( ℤ≥ ‘ 0 ) |
5 |
3 4
|
eleqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∧ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) ) |
6 |
|
eluzfz1 |
⊢ ( ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 0 ) → 0 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
7 |
5 6
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∧ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) ) → 0 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
8 |
|
neg1cn |
⊢ - 1 ∈ ℂ |
9 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
10 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
11 |
|
nndivre |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 2 / 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
12 |
9 10 11
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 2 / 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
13 |
12
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 2 / 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
14 |
|
cxpcl |
⊢ ( ( - 1 ∈ ℂ ∧ ( 2 / 𝑁 ) ∈ ℂ ) → ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
15 |
8 13 14
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
16 |
15
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∧ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) ) → ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
17 |
|
0nn0 |
⊢ 0 ∈ ℕ0 |
18 |
|
expcl |
⊢ ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0 ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 0 ) ∈ ℂ ) |
19 |
16 17 18
|
sylancl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∧ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 0 ) ∈ ℂ ) |
20 |
19
|
mul02d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∧ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) ) → ( 0 · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 0 ) ) = 0 ) |
21 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∧ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) ) → 𝐴 = 0 ) |
22 |
21
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∧ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) ) → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = ( 0 ↑ 𝑁 ) ) |
23 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∧ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) ) → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) |
24 |
1
|
0expd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∧ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) ) → ( 0 ↑ 𝑁 ) = 0 ) |
25 |
22 23 24
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∧ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) ) → 𝐵 = 0 ) |
26 |
25
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∧ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) ) → ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) = ( 0 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) ) |
27 |
|
nncn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
28 |
|
nnne0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0 ) |
29 |
|
reccl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → ( 1 / 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
30 |
|
recne0 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → ( 1 / 𝑁 ) ≠ 0 ) |
31 |
29 30
|
0cxpd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0 ) → ( 0 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) = 0 ) |
32 |
27 28 31
|
syl2anc |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 0 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) = 0 ) |
33 |
1 32
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∧ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) ) → ( 0 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) = 0 ) |
34 |
26 33
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∧ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) ) → ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) = 0 ) |
35 |
34
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∧ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) ) → ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 0 ) ) = ( 0 · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 0 ) ) ) |
36 |
20 35 21
|
3eqtr4rd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∧ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) ) → 𝐴 = ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 0 ) ) ) |
37 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑛 = 0 → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) = ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 0 ) ) |
38 |
37
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑛 = 0 → ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) = ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 0 ) ) ) |
39 |
38
|
rspceeqv |
⊢ ( ( 0 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ 𝐴 = ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 0 ) ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 = ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ) |
40 |
7 36 39
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐴 = 0 ∧ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 = ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ) |
41 |
40
|
expr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 = 0 ) → ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 → ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 = ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ) ) |
42 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
43 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝐴 ≠ 0 ) |
44 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
45 |
44
|
nnzd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
46 |
|
explog |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = ( exp ‘ ( 𝑁 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
47 |
42 43 45 46
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = ( exp ‘ ( 𝑁 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
48 |
47
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( exp ‘ ( 𝑁 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) = ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) |
49 |
10
|
nncnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
50 |
49
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
51 |
42 43
|
logcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( log ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
52 |
50 51
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( 𝑁 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
53 |
44
|
nnnn0d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
54 |
42 53
|
expcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
55 |
42 43 45
|
expne0d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ≠ 0 ) |
56 |
|
eflogeq |
⊢ ( ( ( 𝑁 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( ( exp ‘ ( 𝑁 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) = ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↔ ∃ 𝑚 ∈ ℤ ( 𝑁 · ( log ‘ 𝐴 ) ) = ( ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) ) ) ) |
57 |
52 54 55 56
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( ( exp ‘ ( 𝑁 · ( log ‘ 𝐴 ) ) ) = ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↔ ∃ 𝑚 ∈ ℤ ( 𝑁 · ( log ‘ 𝐴 ) ) = ( ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) ) ) ) |
58 |
48 57
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ∃ 𝑚 ∈ ℤ ( 𝑁 · ( log ‘ 𝐴 ) ) = ( ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) ) ) |
59 |
54 55
|
logcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
60 |
59
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
61 |
|
ax-icn |
⊢ i ∈ ℂ |
62 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
63 |
|
picn |
⊢ π ∈ ℂ |
64 |
62 63
|
mulcli |
⊢ ( 2 · π ) ∈ ℂ |
65 |
61 64
|
mulcli |
⊢ ( i · ( 2 · π ) ) ∈ ℂ |
66 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ ) |
67 |
66
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → 𝑚 ∈ ℂ ) |
68 |
|
mulcl |
⊢ ( ( ( i · ( 2 · π ) ) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ) → ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) ∈ ℂ ) |
69 |
65 67 68
|
sylancr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) ∈ ℂ ) |
70 |
60 69
|
addcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) ) ∈ ℂ ) |
71 |
50
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
72 |
51
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( log ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
73 |
10
|
nnne0d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → 𝑁 ≠ 0 ) |
74 |
73
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → 𝑁 ≠ 0 ) |
75 |
70 71 72 74
|
divmuld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( ( ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) ) / 𝑁 ) = ( log ‘ 𝐴 ) ↔ ( 𝑁 · ( log ‘ 𝐴 ) ) = ( ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) ) ) ) |
76 |
|
fveq2 |
⊢ ( ( ( ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) ) / 𝑁 ) = ( log ‘ 𝐴 ) → ( exp ‘ ( ( ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) ) / 𝑁 ) ) = ( exp ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ) |
77 |
71 74
|
reccld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( 1 / 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
78 |
77 60
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( 1 / 𝑁 ) · ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) ) ∈ ℂ ) |
79 |
13
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( 2 / 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
80 |
79 67
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) ∈ ℂ ) |
81 |
61 63
|
mulcli |
⊢ ( i · π ) ∈ ℂ |
82 |
|
mulcl |
⊢ ( ( ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) ∈ ℂ ∧ ( i · π ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) · ( i · π ) ) ∈ ℂ ) |
83 |
80 81 82
|
sylancl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) · ( i · π ) ) ∈ ℂ ) |
84 |
|
efadd |
⊢ ( ( ( ( 1 / 𝑁 ) · ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) · ( i · π ) ) ∈ ℂ ) → ( exp ‘ ( ( ( 1 / 𝑁 ) · ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) ) + ( ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) · ( i · π ) ) ) ) = ( ( exp ‘ ( ( 1 / 𝑁 ) · ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) ) ) · ( exp ‘ ( ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) · ( i · π ) ) ) ) ) |
85 |
78 83 84
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( exp ‘ ( ( ( 1 / 𝑁 ) · ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) ) + ( ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) · ( i · π ) ) ) ) = ( ( exp ‘ ( ( 1 / 𝑁 ) · ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) ) ) · ( exp ‘ ( ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) · ( i · π ) ) ) ) ) |
86 |
60 69 71 74
|
divdird |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) ) / 𝑁 ) = ( ( ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) / 𝑁 ) + ( ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) / 𝑁 ) ) ) |
87 |
60 71 74
|
divrec2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) / 𝑁 ) = ( ( 1 / 𝑁 ) · ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) ) ) |
88 |
65
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( i · ( 2 · π ) ) ∈ ℂ ) |
89 |
88 67 71 74
|
div23d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) / 𝑁 ) = ( ( ( i · ( 2 · π ) ) / 𝑁 ) · 𝑚 ) ) |
90 |
61 62 63
|
mul12i |
⊢ ( i · ( 2 · π ) ) = ( 2 · ( i · π ) ) |
91 |
90
|
oveq1i |
⊢ ( ( i · ( 2 · π ) ) / 𝑁 ) = ( ( 2 · ( i · π ) ) / 𝑁 ) |
92 |
62
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → 2 ∈ ℂ ) |
93 |
81
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( i · π ) ∈ ℂ ) |
94 |
92 93 71 74
|
div23d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( 2 · ( i · π ) ) / 𝑁 ) = ( ( 2 / 𝑁 ) · ( i · π ) ) ) |
95 |
91 94
|
syl5eq |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( i · ( 2 · π ) ) / 𝑁 ) = ( ( 2 / 𝑁 ) · ( i · π ) ) ) |
96 |
95
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( ( i · ( 2 · π ) ) / 𝑁 ) · 𝑚 ) = ( ( ( 2 / 𝑁 ) · ( i · π ) ) · 𝑚 ) ) |
97 |
79 93 67
|
mul32d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( ( 2 / 𝑁 ) · ( i · π ) ) · 𝑚 ) = ( ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) · ( i · π ) ) ) |
98 |
89 96 97
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) / 𝑁 ) = ( ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) · ( i · π ) ) ) |
99 |
87 98
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) / 𝑁 ) + ( ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) / 𝑁 ) ) = ( ( ( 1 / 𝑁 ) · ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) ) + ( ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) · ( i · π ) ) ) ) |
100 |
86 99
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) ) / 𝑁 ) = ( ( ( 1 / 𝑁 ) · ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) ) + ( ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) · ( i · π ) ) ) ) |
101 |
100
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( exp ‘ ( ( ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) ) / 𝑁 ) ) = ( exp ‘ ( ( ( 1 / 𝑁 ) · ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) ) + ( ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) · ( i · π ) ) ) ) ) |
102 |
54
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
103 |
55
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ≠ 0 ) |
104 |
102 103 77
|
cxpefd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) = ( exp ‘ ( ( 1 / 𝑁 ) · ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) |
105 |
8
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → - 1 ∈ ℂ ) |
106 |
|
neg1ne0 |
⊢ - 1 ≠ 0 |
107 |
106
|
a1i |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → - 1 ≠ 0 ) |
108 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → 𝑚 ∈ ℤ ) |
109 |
105 107 79 108
|
cxpmul2zd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( - 1 ↑𝑐 ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) ) = ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑚 ) ) |
110 |
105 107 80
|
cxpefd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( - 1 ↑𝑐 ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) ) = ( exp ‘ ( ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) · ( log ‘ - 1 ) ) ) ) |
111 |
|
logm1 |
⊢ ( log ‘ - 1 ) = ( i · π ) |
112 |
111
|
oveq2i |
⊢ ( ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) · ( log ‘ - 1 ) ) = ( ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) · ( i · π ) ) |
113 |
112
|
fveq2i |
⊢ ( exp ‘ ( ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) · ( log ‘ - 1 ) ) ) = ( exp ‘ ( ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) · ( i · π ) ) ) |
114 |
110 113
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( - 1 ↑𝑐 ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) ) = ( exp ‘ ( ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) · ( i · π ) ) ) ) |
115 |
105 79
|
cxpcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
116 |
8
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → - 1 ∈ ℂ ) |
117 |
106
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → - 1 ≠ 0 ) |
118 |
116 117 13
|
cxpne0d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ≠ 0 ) |
119 |
118
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ≠ 0 ) |
120 |
115 119 108
|
expclzd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑚 ) ∈ ℂ ) |
121 |
44
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
122 |
108 121
|
zmodcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( 𝑚 mod 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
123 |
115 122
|
expcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
124 |
122
|
nn0zd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( 𝑚 mod 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
125 |
115 119 124
|
expne0d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) ≠ 0 ) |
126 |
115 119 124 108
|
expsubd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑚 − ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) ) = ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑚 ) / ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) ) ) |
127 |
121
|
nnzd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
128 |
|
zre |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ ) |
129 |
121
|
nnrpd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
130 |
|
moddifz |
⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑚 − ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) / 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
131 |
128 129 130
|
syl2an2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑚 − ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) / 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
132 |
|
expmulz |
⊢ ( ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ∈ ℂ ∧ ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑚 − ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) / 𝑁 ) ∈ ℤ ) ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑁 · ( ( 𝑚 − ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) / 𝑁 ) ) ) = ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) ↑ ( ( 𝑚 − ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) / 𝑁 ) ) ) |
133 |
115 119 127 131 132
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑁 · ( ( 𝑚 − ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) / 𝑁 ) ) ) = ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) ↑ ( ( 𝑚 − ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) / 𝑁 ) ) ) |
134 |
122
|
nn0cnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( 𝑚 mod 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
135 |
67 134
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( 𝑚 − ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
136 |
135 71 74
|
divcan2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 · ( ( 𝑚 − ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) / 𝑁 ) ) = ( 𝑚 − ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) ) |
137 |
136
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑁 · ( ( 𝑚 − ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) / 𝑁 ) ) ) = ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑚 − ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) ) ) |
138 |
|
root1id |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) = 1 ) |
139 |
121 138
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) = 1 ) |
140 |
139
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) ↑ ( ( 𝑚 − ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) / 𝑁 ) ) = ( 1 ↑ ( ( 𝑚 − ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) / 𝑁 ) ) ) |
141 |
|
1exp |
⊢ ( ( ( 𝑚 − ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) / 𝑁 ) ∈ ℤ → ( 1 ↑ ( ( 𝑚 − ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) / 𝑁 ) ) = 1 ) |
142 |
131 141
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( 1 ↑ ( ( 𝑚 − ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) / 𝑁 ) ) = 1 ) |
143 |
140 142
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) ↑ ( ( 𝑚 − ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) / 𝑁 ) ) = 1 ) |
144 |
133 137 143
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑚 − ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) ) = 1 ) |
145 |
126 144
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑚 ) / ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) ) = 1 ) |
146 |
120 123 125 145
|
diveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑚 ) = ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) ) |
147 |
109 114 146
|
3eqtr3rd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) = ( exp ‘ ( ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) · ( i · π ) ) ) ) |
148 |
104 147
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) ) = ( ( exp ‘ ( ( 1 / 𝑁 ) · ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) ) ) · ( exp ‘ ( ( ( 2 / 𝑁 ) · 𝑚 ) · ( i · π ) ) ) ) ) |
149 |
85 101 148
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( exp ‘ ( ( ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) ) / 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) ) ) |
150 |
|
eflog |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( exp ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) = 𝐴 ) |
151 |
42 43 150
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( exp ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) = 𝐴 ) |
152 |
151
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( exp ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) = 𝐴 ) |
153 |
149 152
|
eqeq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( exp ‘ ( ( ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) ) / 𝑁 ) ) = ( exp ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) ↔ ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) ) = 𝐴 ) ) |
154 |
|
zmodfz |
⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝑚 mod 𝑁 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
155 |
108 121 154
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( 𝑚 mod 𝑁 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
156 |
|
eqcom |
⊢ ( 𝐴 = ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ↔ ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) = 𝐴 ) |
157 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑚 mod 𝑁 ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) = ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) ) |
158 |
157
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑚 mod 𝑁 ) → ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) = ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) ) ) |
159 |
158
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑚 mod 𝑁 ) → ( ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) = 𝐴 ↔ ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) ) = 𝐴 ) ) |
160 |
156 159
|
syl5bb |
⊢ ( 𝑛 = ( 𝑚 mod 𝑁 ) → ( 𝐴 = ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ↔ ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) ) = 𝐴 ) ) |
161 |
160
|
rspcev |
⊢ ( ( ( 𝑚 mod 𝑁 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) ) = 𝐴 ) → ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 = ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ) |
162 |
161
|
ex |
⊢ ( ( 𝑚 mod 𝑁 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → ( ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) ) = 𝐴 → ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 = ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ) ) |
163 |
155 162
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑚 mod 𝑁 ) ) ) = 𝐴 → ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 = ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ) ) |
164 |
153 163
|
sylbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( exp ‘ ( ( ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) ) / 𝑁 ) ) = ( exp ‘ ( log ‘ 𝐴 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 = ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ) ) |
165 |
76 164
|
syl5 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( ( ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) ) / 𝑁 ) = ( log ‘ 𝐴 ) → ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 = ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ) ) |
166 |
75 165
|
sylbird |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 · ( log ‘ 𝐴 ) ) = ( ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 = ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ) ) |
167 |
166
|
rexlimdva |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( ∃ 𝑚 ∈ ℤ ( 𝑁 · ( log ‘ 𝐴 ) ) = ( ( log ‘ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝑚 ) ) → ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 = ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ) ) |
168 |
58 167
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 = ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ) |
169 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 → ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) = ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) ) |
170 |
169
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 → ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) = ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ) |
171 |
170
|
eqeq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 → ( 𝐴 = ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ↔ 𝐴 = ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ) ) |
172 |
171
|
rexbidv |
⊢ ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 → ( ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 = ( ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ↔ ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 = ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ) ) |
173 |
168 172
|
syl5ibcom |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝐴 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 → ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 = ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ) ) |
174 |
41 173
|
pm2.61dane |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 → ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 = ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ) ) |
175 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → 𝐵 ∈ ℂ ) |
176 |
|
nnrecre |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 1 / 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
177 |
176
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 1 / 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
178 |
177
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 1 / 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
179 |
175 178
|
cxpcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
180 |
179
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
181 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 𝑛 ∈ ℕ0 ) |
182 |
|
expcl |
⊢ ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ∈ ℂ ) |
183 |
15 181 182
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ∈ ℂ ) |
184 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
185 |
184
|
nnnn0d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
186 |
180 183 185
|
mulexpd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ↑ 𝑁 ) = ( ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) · ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ↑ 𝑁 ) ) ) |
187 |
175
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝐵 ∈ ℂ ) |
188 |
|
cxproot |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) |
189 |
187 184 188
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) |
190 |
181
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑛 ∈ ℕ0 ) |
191 |
190
|
nn0cnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑛 ∈ ℂ ) |
192 |
184
|
nncnd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
193 |
191 192
|
mulcomd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝑛 · 𝑁 ) = ( 𝑁 · 𝑛 ) ) |
194 |
193
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑛 · 𝑁 ) ) = ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑁 · 𝑛 ) ) ) |
195 |
15
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
196 |
195 185 190
|
expmuld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑛 · 𝑁 ) ) = ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ↑ 𝑁 ) ) |
197 |
195 190 185
|
expmuld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ ( 𝑁 · 𝑛 ) ) = ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) ↑ 𝑛 ) ) |
198 |
194 196 197
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ↑ 𝑁 ) = ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) ↑ 𝑛 ) ) |
199 |
184 138
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) = 1 ) |
200 |
199
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) ↑ 𝑛 ) = ( 1 ↑ 𝑛 ) ) |
201 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) → 𝑛 ∈ ℤ ) |
202 |
201
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → 𝑛 ∈ ℤ ) |
203 |
|
1exp |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℤ → ( 1 ↑ 𝑛 ) = 1 ) |
204 |
202 203
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 1 ↑ 𝑛 ) = 1 ) |
205 |
198 200 204
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ↑ 𝑁 ) = 1 ) |
206 |
189 205
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑁 ) · ( ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ↑ 𝑁 ) ) = ( 𝐵 · 1 ) ) |
207 |
187
|
mulid1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝐵 · 1 ) = 𝐵 ) |
208 |
186 206 207
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) |
209 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝐴 = ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = ( ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ↑ 𝑁 ) ) |
210 |
209
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝐴 = ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) → ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ↔ ( ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) ) |
211 |
208 210
|
syl5ibrcom |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( 𝐴 = ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) ) |
212 |
211
|
rexlimdva |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 = ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ) ) |
213 |
174 212
|
impbid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = 𝐵 ↔ ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 1 ) ) 𝐴 = ( ( 𝐵 ↑𝑐 ( 1 / 𝑁 ) ) · ( ( - 1 ↑𝑐 ( 2 / 𝑁 ) ) ↑ 𝑛 ) ) ) ) |