| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
addcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
| 2 |
|
sinhval-named |
⊢ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) ∈ ℂ → ( sinh ‘ ( 𝐴 + 𝐵 ) ) = ( ( sin ‘ ( i · ( 𝐴 + 𝐵 ) ) ) / i ) ) |
| 3 |
1 2
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( sinh ‘ ( 𝐴 + 𝐵 ) ) = ( ( sin ‘ ( i · ( 𝐴 + 𝐵 ) ) ) / i ) ) |
| 4 |
|
ax-icn |
⊢ i ∈ ℂ |
| 5 |
|
adddi |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( i · ( 𝐴 + 𝐵 ) ) = ( ( i · 𝐴 ) + ( i · 𝐵 ) ) ) |
| 6 |
4 5
|
mp3an1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( i · ( 𝐴 + 𝐵 ) ) = ( ( i · 𝐴 ) + ( i · 𝐵 ) ) ) |
| 7 |
6
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( sin ‘ ( i · ( 𝐴 + 𝐵 ) ) ) = ( sin ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( i · 𝐵 ) ) ) ) |
| 8 |
7
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( sin ‘ ( i · ( 𝐴 + 𝐵 ) ) ) / i ) = ( ( sin ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( i · 𝐵 ) ) ) / i ) ) |
| 9 |
4
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → i ∈ ℂ ) |
| 10 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
| 11 |
9 10
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
| 12 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( i · 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
| 13 |
9 12
|
sylancom |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( i · 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
| 14 |
|
sinadd |
⊢ ( ( ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ ( i · 𝐵 ) ∈ ℂ ) → ( sin ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( i · 𝐵 ) ) ) = ( ( ( sin ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( cos ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) + ( ( cos ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( sin ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) ) ) |
| 15 |
11 13 14
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( sin ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( i · 𝐵 ) ) ) = ( ( ( sin ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( cos ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) + ( ( cos ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( sin ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) ) ) |
| 16 |
15
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( sin ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( i · 𝐵 ) ) ) / i ) = ( ( ( ( sin ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( cos ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) + ( ( cos ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( sin ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) ) / i ) ) |
| 17 |
3 8 16
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( sinh ‘ ( 𝐴 + 𝐵 ) ) = ( ( ( ( sin ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( cos ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) + ( ( cos ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( sin ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) ) / i ) ) |
| 18 |
11
|
sincld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( sin ‘ ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
| 19 |
13
|
coscld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( i · 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) |
| 20 |
18 19
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( sin ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( cos ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 21 |
11
|
coscld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
| 22 |
13
|
sincld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( sin ‘ ( i · 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) |
| 23 |
21 22
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( sin ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 24 |
|
ine0 |
⊢ i ≠ 0 |
| 25 |
4 24
|
pm3.2i |
⊢ ( i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ) |
| 26 |
|
divdir |
⊢ ( ( ( ( sin ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( cos ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( ( cos ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( sin ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( sin ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( cos ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) + ( ( cos ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( sin ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) ) / i ) = ( ( ( ( sin ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( cos ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) / i ) + ( ( ( cos ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( sin ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) / i ) ) ) |
| 27 |
25 26
|
mp3an3 |
⊢ ( ( ( ( sin ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( cos ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( ( cos ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( sin ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) ∈ ℂ ) → ( ( ( ( sin ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( cos ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) + ( ( cos ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( sin ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) ) / i ) = ( ( ( ( sin ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( cos ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) / i ) + ( ( ( cos ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( sin ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) / i ) ) ) |
| 28 |
20 23 27
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ( sin ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( cos ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) + ( ( cos ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( sin ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) ) / i ) = ( ( ( ( sin ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( cos ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) / i ) + ( ( ( cos ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( sin ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) / i ) ) ) |
| 29 |
24
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → i ≠ 0 ) |
| 30 |
18 19 9 29
|
div23d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( sin ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( cos ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) / i ) = ( ( ( sin ‘ ( i · 𝐴 ) ) / i ) · ( cos ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) ) |
| 31 |
21 22 9 29
|
divassd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( cos ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( sin ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) / i ) = ( ( cos ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( ( sin ‘ ( i · 𝐵 ) ) / i ) ) ) |
| 32 |
30 31
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ( sin ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( cos ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) / i ) + ( ( ( cos ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( sin ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) / i ) ) = ( ( ( ( sin ‘ ( i · 𝐴 ) ) / i ) · ( cos ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) + ( ( cos ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( ( sin ‘ ( i · 𝐵 ) ) / i ) ) ) ) |
| 33 |
17 28 32
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( sinh ‘ ( 𝐴 + 𝐵 ) ) = ( ( ( ( sin ‘ ( i · 𝐴 ) ) / i ) · ( cos ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) + ( ( cos ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( ( sin ‘ ( i · 𝐵 ) ) / i ) ) ) ) |
| 34 |
|
sinhval-named |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( sinh ‘ 𝐴 ) = ( ( sin ‘ ( i · 𝐴 ) ) / i ) ) |
| 35 |
|
coshval-named |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℂ → ( cosh ‘ 𝐵 ) = ( cos ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) |
| 36 |
34 35
|
oveqan12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( sinh ‘ 𝐴 ) · ( cosh ‘ 𝐵 ) ) = ( ( ( sin ‘ ( i · 𝐴 ) ) / i ) · ( cos ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) ) |
| 37 |
|
coshval-named |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( cosh ‘ 𝐴 ) = ( cos ‘ ( i · 𝐴 ) ) ) |
| 38 |
|
sinhval-named |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℂ → ( sinh ‘ 𝐵 ) = ( ( sin ‘ ( i · 𝐵 ) ) / i ) ) |
| 39 |
37 38
|
oveqan12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( cosh ‘ 𝐴 ) · ( sinh ‘ 𝐵 ) ) = ( ( cos ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( ( sin ‘ ( i · 𝐵 ) ) / i ) ) ) |
| 40 |
36 39
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( sinh ‘ 𝐴 ) · ( cosh ‘ 𝐵 ) ) + ( ( cosh ‘ 𝐴 ) · ( sinh ‘ 𝐵 ) ) ) = ( ( ( ( sin ‘ ( i · 𝐴 ) ) / i ) · ( cos ‘ ( i · 𝐵 ) ) ) + ( ( cos ‘ ( i · 𝐴 ) ) · ( ( sin ‘ ( i · 𝐵 ) ) / i ) ) ) ) |
| 41 |
33 40
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( sinh ‘ ( 𝐴 + 𝐵 ) ) = ( ( ( sinh ‘ 𝐴 ) · ( cosh ‘ 𝐵 ) ) + ( ( cosh ‘ 𝐴 ) · ( sinh ‘ 𝐵 ) ) ) ) |