Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
srapart.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 = ( ( subringAlg ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑆 ) ) |
2 |
|
srapart.s |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝑊 ) ) |
3 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑊 sSet 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( 𝑊 ↾s 𝑆 ) 〉 ) ∈ V |
4 |
|
fvex |
⊢ ( .r ‘ 𝑊 ) ∈ V |
5 |
|
vscaid |
⊢ ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ ndx ) |
6 |
5
|
setsid |
⊢ ( ( ( 𝑊 sSet 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( 𝑊 ↾s 𝑆 ) 〉 ) ∈ V ∧ ( .r ‘ 𝑊 ) ∈ V ) → ( .r ‘ 𝑊 ) = ( ·𝑠 ‘ ( ( 𝑊 sSet 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( 𝑊 ↾s 𝑆 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) ) ) |
7 |
3 4 6
|
mp2an |
⊢ ( .r ‘ 𝑊 ) = ( ·𝑠 ‘ ( ( 𝑊 sSet 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( 𝑊 ↾s 𝑆 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) ) |
8 |
|
6re |
⊢ 6 ∈ ℝ |
9 |
|
6lt8 |
⊢ 6 < 8 |
10 |
8 9
|
ltneii |
⊢ 6 ≠ 8 |
11 |
|
vscandx |
⊢ ( ·𝑠 ‘ ndx ) = 6 |
12 |
|
ipndx |
⊢ ( ·𝑖 ‘ ndx ) = 8 |
13 |
11 12
|
neeq12i |
⊢ ( ( ·𝑠 ‘ ndx ) ≠ ( ·𝑖 ‘ ndx ) ↔ 6 ≠ 8 ) |
14 |
10 13
|
mpbir |
⊢ ( ·𝑠 ‘ ndx ) ≠ ( ·𝑖 ‘ ndx ) |
15 |
5 14
|
setsnid |
⊢ ( ·𝑠 ‘ ( ( 𝑊 sSet 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( 𝑊 ↾s 𝑆 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) ) = ( ·𝑠 ‘ ( ( ( 𝑊 sSet 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( 𝑊 ↾s 𝑆 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑖 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) ) |
16 |
7 15
|
eqtri |
⊢ ( .r ‘ 𝑊 ) = ( ·𝑠 ‘ ( ( ( 𝑊 sSet 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( 𝑊 ↾s 𝑆 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑖 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) ) |
17 |
1
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑 ) → 𝐴 = ( ( subringAlg ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑆 ) ) |
18 |
|
sraval |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ ( Base ‘ 𝑊 ) ) → ( ( subringAlg ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑆 ) = ( ( ( 𝑊 sSet 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( 𝑊 ↾s 𝑆 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑖 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) ) |
19 |
2 18
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑 ) → ( ( subringAlg ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑆 ) = ( ( ( 𝑊 sSet 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( 𝑊 ↾s 𝑆 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑖 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) ) |
20 |
17 19
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑 ) → 𝐴 = ( ( ( 𝑊 sSet 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( 𝑊 ↾s 𝑆 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑖 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) ) |
21 |
20
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑 ) → ( ·𝑠 ‘ 𝐴 ) = ( ·𝑠 ‘ ( ( ( 𝑊 sSet 〈 ( Scalar ‘ ndx ) , ( 𝑊 ↾s 𝑆 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑠 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) sSet 〈 ( ·𝑖 ‘ ndx ) , ( .r ‘ 𝑊 ) 〉 ) ) ) |
22 |
16 21
|
eqtr4id |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑 ) → ( .r ‘ 𝑊 ) = ( ·𝑠 ‘ 𝐴 ) ) |
23 |
5
|
str0 |
⊢ ∅ = ( ·𝑠 ‘ ∅ ) |
24 |
|
fvprc |
⊢ ( ¬ 𝑊 ∈ V → ( .r ‘ 𝑊 ) = ∅ ) |
25 |
24
|
adantr |
⊢ ( ( ¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑 ) → ( .r ‘ 𝑊 ) = ∅ ) |
26 |
|
fv2prc |
⊢ ( ¬ 𝑊 ∈ V → ( ( subringAlg ‘ 𝑊 ) ‘ 𝑆 ) = ∅ ) |
27 |
1 26
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( ¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑 ) → 𝐴 = ∅ ) |
28 |
27
|
fveq2d |
⊢ ( ( ¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑 ) → ( ·𝑠 ‘ 𝐴 ) = ( ·𝑠 ‘ ∅ ) ) |
29 |
23 25 28
|
3eqtr4a |
⊢ ( ( ¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑 ) → ( .r ‘ 𝑊 ) = ( ·𝑠 ‘ 𝐴 ) ) |
30 |
22 29
|
pm2.61ian |
⊢ ( 𝜑 → ( .r ‘ 𝑊 ) = ( ·𝑠 ‘ 𝐴 ) ) |