Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
umgr2v2evtx.g |
⊢ 𝐺 = 〈 𝑉 , { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } 〉 |
2 |
|
c0ex |
⊢ 0 ∈ V |
3 |
|
1ex |
⊢ 1 ∈ V |
4 |
2 3
|
pm3.2i |
⊢ ( 0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ) |
5 |
|
prex |
⊢ { 𝐴 , 𝐵 } ∈ V |
6 |
5 5
|
pm3.2i |
⊢ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ V ∧ { 𝐴 , 𝐵 } ∈ V ) |
7 |
|
0ne1 |
⊢ 0 ≠ 1 |
8 |
7
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → 0 ≠ 1 ) |
9 |
|
fprg |
⊢ ( ( ( 0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ) ∧ ( { 𝐴 , 𝐵 } ∈ V ∧ { 𝐴 , 𝐵 } ∈ V ) ∧ 0 ≠ 1 ) → { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } : { 0 , 1 } ⟶ { { 𝐴 , 𝐵 } , { 𝐴 , 𝐵 } } ) |
10 |
4 6 8 9
|
mp3an12i |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } : { 0 , 1 } ⟶ { { 𝐴 , 𝐵 } , { 𝐴 , 𝐵 } } ) |
11 |
|
dfsn2 |
⊢ { { 𝐴 , 𝐵 } } = { { 𝐴 , 𝐵 } , { 𝐴 , 𝐵 } } |
12 |
|
fveqeq2 |
⊢ ( 𝑒 = { 𝐴 , 𝐵 } → ( ( ♯ ‘ 𝑒 ) = 2 ↔ ( ♯ ‘ { 𝐴 , 𝐵 } ) = 2 ) ) |
13 |
|
prelpwi |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝒫 𝑉 ) |
14 |
13
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝒫 𝑉 ) |
15 |
1
|
umgr2v2evtx |
⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑊 → ( Vtx ‘ 𝐺 ) = 𝑉 ) |
16 |
15
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → ( Vtx ‘ 𝐺 ) = 𝑉 ) |
17 |
16
|
pweqd |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → 𝒫 ( Vtx ‘ 𝐺 ) = 𝒫 𝑉 ) |
18 |
14 17
|
eleqtrrd |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝒫 ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
19 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝒫 ( Vtx ‘ 𝐺 ) ) |
20 |
|
hashprg |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → ( 𝐴 ≠ 𝐵 ↔ ( ♯ ‘ { 𝐴 , 𝐵 } ) = 2 ) ) |
21 |
20
|
biimpd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → ( 𝐴 ≠ 𝐵 → ( ♯ ‘ { 𝐴 , 𝐵 } ) = 2 ) ) |
22 |
21
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → ( 𝐴 ≠ 𝐵 → ( ♯ ‘ { 𝐴 , 𝐵 } ) = 2 ) ) |
23 |
22
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( ♯ ‘ { 𝐴 , 𝐵 } ) = 2 ) |
24 |
12 19 23
|
elrabd |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → { 𝐴 , 𝐵 } ∈ { 𝑒 ∈ 𝒫 ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑒 ) = 2 } ) |
25 |
24
|
snssd |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → { { 𝐴 , 𝐵 } } ⊆ { 𝑒 ∈ 𝒫 ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑒 ) = 2 } ) |
26 |
11 25
|
eqsstrrid |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → { { 𝐴 , 𝐵 } , { 𝐴 , 𝐵 } } ⊆ { 𝑒 ∈ 𝒫 ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑒 ) = 2 } ) |
27 |
10 26
|
fssd |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } : { 0 , 1 } ⟶ { 𝑒 ∈ 𝒫 ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑒 ) = 2 } ) |
28 |
27
|
ffdmd |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } : dom { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ⟶ { 𝑒 ∈ 𝒫 ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑒 ) = 2 } ) |
29 |
1
|
umgr2v2eiedg |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) → ( iEdg ‘ 𝐺 ) = { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ) |
30 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( iEdg ‘ 𝐺 ) = { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ) |
31 |
30
|
dmeqd |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) = dom { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ) |
32 |
30 31
|
feq12d |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( ( iEdg ‘ 𝐺 ) : dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ⟶ { 𝑒 ∈ 𝒫 ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑒 ) = 2 } ↔ { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } : dom { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } ⟶ { 𝑒 ∈ 𝒫 ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑒 ) = 2 } ) ) |
33 |
28 32
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( iEdg ‘ 𝐺 ) : dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ⟶ { 𝑒 ∈ 𝒫 ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑒 ) = 2 } ) |
34 |
|
opex |
⊢ 〈 𝑉 , { 〈 0 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 , 〈 1 , { 𝐴 , 𝐵 } 〉 } 〉 ∈ V |
35 |
1 34
|
eqeltri |
⊢ 𝐺 ∈ V |
36 |
|
eqid |
⊢ ( Vtx ‘ 𝐺 ) = ( Vtx ‘ 𝐺 ) |
37 |
|
eqid |
⊢ ( iEdg ‘ 𝐺 ) = ( iEdg ‘ 𝐺 ) |
38 |
36 37
|
isumgrs |
⊢ ( 𝐺 ∈ V → ( 𝐺 ∈ UMGraph ↔ ( iEdg ‘ 𝐺 ) : dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ⟶ { 𝑒 ∈ 𝒫 ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑒 ) = 2 } ) ) |
39 |
35 38
|
mp1i |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( 𝐺 ∈ UMGraph ↔ ( iEdg ‘ 𝐺 ) : dom ( iEdg ‘ 𝐺 ) ⟶ { 𝑒 ∈ 𝒫 ( Vtx ‘ 𝐺 ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑒 ) = 2 } ) ) |
40 |
33 39
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → 𝐺 ∈ UMGraph ) |