Metamath Proof Explorer

Theorem xbln0

Description: A ball is nonempty iff the radius is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015)

Ref Expression
Assertion xbln0 ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) β†’ ( ( 𝑃 ( ball β€˜ 𝐷 ) 𝑅 ) β‰  βˆ… ↔ 0 < 𝑅 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 n0 ⊒ ( ( 𝑃 ( ball β€˜ 𝐷 ) 𝑅 ) β‰  βˆ… ↔ βˆƒ π‘₯ π‘₯ ∈ ( 𝑃 ( ball β€˜ 𝐷 ) 𝑅 ) )
2 elbl ⊒ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) β†’ ( π‘₯ ∈ ( 𝑃 ( ball β€˜ 𝐷 ) 𝑅 ) ↔ ( π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑃 𝐷 π‘₯ ) < 𝑅 ) ) )
3 xmetge0 ⊒ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ) β†’ 0 ≀ ( 𝑃 𝐷 π‘₯ ) )
4 3 3expa ⊒ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ) β†’ 0 ≀ ( 𝑃 𝐷 π‘₯ ) )
5 4 3adantl3 ⊒ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ) β†’ 0 ≀ ( 𝑃 𝐷 π‘₯ ) )
6 0xr ⊒ 0 ∈ ℝ*
7 xmetcl ⊒ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ) β†’ ( 𝑃 𝐷 π‘₯ ) ∈ ℝ* )
8 7 3expa ⊒ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ) β†’ ( 𝑃 𝐷 π‘₯ ) ∈ ℝ* )
9 8 3adantl3 ⊒ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ) β†’ ( 𝑃 𝐷 π‘₯ ) ∈ ℝ* )
10 simpl3 ⊒ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ) β†’ 𝑅 ∈ ℝ* )
11 xrlelttr ⊒ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑃 𝐷 π‘₯ ) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) β†’ ( ( 0 ≀ ( 𝑃 𝐷 π‘₯ ) ∧ ( 𝑃 𝐷 π‘₯ ) < 𝑅 ) β†’ 0 < 𝑅 ) )
12 6 9 10 11 mp3an2i ⊒ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ) β†’ ( ( 0 ≀ ( 𝑃 𝐷 π‘₯ ) ∧ ( 𝑃 𝐷 π‘₯ ) < 𝑅 ) β†’ 0 < 𝑅 ) )
13 5 12 mpand ⊒ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ) β†’ ( ( 𝑃 𝐷 π‘₯ ) < 𝑅 β†’ 0 < 𝑅 ) )
14 13 expimpd ⊒ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) β†’ ( ( π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑃 𝐷 π‘₯ ) < 𝑅 ) β†’ 0 < 𝑅 ) )
15 2 14 sylbid ⊒ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) β†’ ( π‘₯ ∈ ( 𝑃 ( ball β€˜ 𝐷 ) 𝑅 ) β†’ 0 < 𝑅 ) )
16 15 exlimdv ⊒ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) β†’ ( βˆƒ π‘₯ π‘₯ ∈ ( 𝑃 ( ball β€˜ 𝐷 ) 𝑅 ) β†’ 0 < 𝑅 ) )
17 1 16 biimtrid ⊒ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) β†’ ( ( 𝑃 ( ball β€˜ 𝐷 ) 𝑅 ) β‰  βˆ… β†’ 0 < 𝑅 ) )
18 xblcntr ⊒ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅 ) ) β†’ 𝑃 ∈ ( 𝑃 ( ball β€˜ 𝐷 ) 𝑅 ) )
19 18 ne0d ⊒ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅 ) ) β†’ ( 𝑃 ( ball β€˜ 𝐷 ) 𝑅 ) β‰  βˆ… )
20 19 3expa ⊒ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅 ) ) β†’ ( 𝑃 ( ball β€˜ 𝐷 ) 𝑅 ) β‰  βˆ… )
21 20 expr ⊒ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) β†’ ( 0 < 𝑅 β†’ ( 𝑃 ( ball β€˜ 𝐷 ) 𝑅 ) β‰  βˆ… ) )
22 21 3impa ⊒ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) β†’ ( 0 < 𝑅 β†’ ( 𝑃 ( ball β€˜ 𝐷 ) 𝑅 ) β‰  βˆ… ) )
23 17 22 impbid ⊒ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) β†’ ( ( 𝑃 ( ball β€˜ 𝐷 ) 𝑅 ) β‰  βˆ… ↔ 0 < 𝑅 ) )