Theorem xbln0

Description: A ball is nonempty iff the radius is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015)

	Ref	Expression
Assertion	xbln0	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ≠ ∅ ↔ 0 < 𝑅 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0	⊢ ( ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) )
2		elbl	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) < 𝑅 ) ) )
3		xmetge0	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 0 ≤ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) )
4	3	3expa	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 0 ≤ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) )
5	4	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 0 ≤ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) )
6		0xr	⊢ 0 ∈ ℝ*
7		xmetcl	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ∈ ℝ* )
8	7	3expa	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ∈ ℝ* )
9	8	3adantl3	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ∈ ℝ* )
10		simpl3	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → 𝑅 ∈ ℝ* )
11		xrlelttr	⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( ( 0 ≤ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ∧ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) < 𝑅 ) → 0 < 𝑅 ) )
12	6 9 10 11	mp3an2i	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 0 ≤ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) ∧ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) < 𝑅 ) → 0 < 𝑅 ) )
13	5 12	mpand	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) < 𝑅 → 0 < 𝑅 ) )
14	13	expimpd	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑃 𝐷 𝑥 ) < 𝑅 ) → 0 < 𝑅 ) )
15	2 14	sylbid	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) → 0 < 𝑅 ) )
16	15	exlimdv	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( ∃ 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) → 0 < 𝑅 ) )
17	1 16	syl5bi	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ≠ ∅ → 0 < 𝑅 ) )
18		xblcntr	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅 ) ) → 𝑃 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) )
19	18	ne0d	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ≠ ∅ )
20	19	3expa	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) ∧ ( 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ≠ ∅ )
21	20	expr	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( 0 < 𝑅 → ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ≠ ∅ ) )
22	21	3impa	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( 0 < 𝑅 → ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ≠ ∅ ) )
23	17 22	impbid	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ≠ ∅ ↔ 0 < 𝑅 ) )