Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem1 Unicode version

Theorem inf3lem1 8066
 Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 8073 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1
inf3lem.2
inf3lem.3
inf3lem.4
Assertion
Ref Expression
inf3lem1
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem inf3lem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5871 . . 3
2 suceq 4948 . . . 4
32fveq2d 5875 . . 3
41, 3sseq12d 3532 . 2
5 fveq2 5871 . . 3
6 suceq 4948 . . . 4
76fveq2d 5875 . . 3
85, 7sseq12d 3532 . 2
9 fveq2 5871 . . 3
10 suceq 4948 . . . 4
1110fveq2d 5875 . . 3
129, 11sseq12d 3532 . 2
13 fveq2 5871 . . 3
14 suceq 4948 . . . 4
1514fveq2d 5875 . . 3
1613, 15sseq12d 3532 . 2
17 inf3lem.1 . . . 4
18 inf3lem.2 . . . 4
19 inf3lem.3 . . . 4
2017, 18, 19, 19inf3lemb 8063 . . 3
21 0ss 3814 . . 3
2220, 21eqsstri 3533 . 2
23 sstr2 3510 . . . . . . . 8
2423com12 31 . . . . . . 7
2524anim2d 565 . . . . . 6
26 vex 3112 . . . . . . . . . 10
2717, 18, 26, 19inf3lemc 8064 . . . . . . . . 9
2827eleq2d 2527 . . . . . . . 8
29 vex 3112 . . . . . . . . 9
30 fvex 5881 . . . . . . . . 9
3117, 18, 29, 30inf3lema 8062 . . . . . . . 8
3228, 31syl6bb 261 . . . . . . 7
33 peano2b 6716 . . . . . . . . . 10
3426sucex 6646 . . . . . . . . . . 11
3517, 18, 34, 19inf3lemc 8064 . . . . . . . . . 10
3633, 35sylbi 195 . . . . . . . . 9
3736eleq2d 2527 . . . . . . . 8
38 fvex 5881 . . . . . . . . 9
3917, 18, 29, 38inf3lema 8062 . . . . . . . 8
4037, 39syl6bb 261 . . . . . . 7
4132, 40imbi12d 320 . . . . . 6
4225, 41syl5ibr 221 . . . . 5
4342imp 429 . . . 4
4443ssrdv 3509 . . 3
4544ex 434 . 2
464, 8, 12, 16, 22, 45finds 6726 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  e.cmpt 4510  succsuc 4885  |cres 5006  cfv 5593   com 6700  reccrdg 7094 This theorem is referenced by:  inf3lem4  8069 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095
 Copyright terms: Public domain W3C validator