Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lemd Unicode version

Theorem inf3lemd 8065
 Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 8073 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1
inf3lem.2
inf3lem.3
inf3lem.4
Assertion
Ref Expression
inf3lemd
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem inf3lemd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5871 . . . . 5
2 inf3lem.1 . . . . . 6
3 inf3lem.2 . . . . . 6
4 inf3lem.3 . . . . . 6
5 inf3lem.4 . . . . . 6
62, 3, 4, 5inf3lemb 8063 . . . . 5
71, 6syl6eq 2514 . . . 4
8 0ss 3814 . . . 4
97, 8syl6eqss 3553 . . 3
109a1d 25 . 2
11 nnsuc 6717 . . . 4
12 vex 3112 . . . . . . . . . 10
132, 3, 12, 5inf3lemc 8064 . . . . . . . . 9
1413eleq2d 2527 . . . . . . . 8
15 vex 3112 . . . . . . . . . 10
16 fvex 5881 . . . . . . . . . 10
172, 3, 15, 16inf3lema 8062 . . . . . . . . 9
1817simplbi 460 . . . . . . . 8
1914, 18syl6bi 228 . . . . . . 7
2019ssrdv 3509 . . . . . 6
21 fveq2 5871 . . . . . . 7
2221sseq1d 3530 . . . . . 6
2320, 22syl5ibrcom 222 . . . . 5
2423rexlimiv 2943 . . . 4
2511, 24syl 16 . . 3
2625expcom 435 . 2
2710, 26pm2.61ine 2770 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  e.cmpt 4510  succsuc 4885  |cres 5006  cfv 5593   com 6700  reccrdg 7094 This theorem is referenced by:  inf3lem2  8067  inf3lem3  8068  inf3lem6  8071 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095
 Copyright terms: Public domain W3C validator