Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem3 Unicode version

Theorem inf3lem3 8068
 Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 8073 for detailed description. In the proof, we invoke the Axiom of Regularity in the form of zfreg 8042. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1
inf3lem.2
inf3lem.3
inf3lem.4
Assertion
Ref Expression
inf3lem3
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem inf3lem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inf3lem.1 . . . . 5
2 inf3lem.2 . . . . 5
3 inf3lem.3 . . . . 5
4 inf3lem.4 . . . . 5
51, 2, 3, 4inf3lemd 8065 . . . 4
61, 2, 3, 4inf3lem2 8067 . . . . 5
76com12 31 . . . 4
8 pssdifn0 3888 . . . 4
95, 7, 8syl6an 545 . . 3
10 vex 3112 . . . . . 6
11 difss 3630 . . . . . 6
1210, 11ssexi 4597 . . . . 5
1312zfreg 8042 . . . 4
14 eldifi 3625 . . . . . . . . . . 11
15 inssdif0 3895 . . . . . . . . . . . 12
1615biimpri 206 . . . . . . . . . . 11
1714, 16anim12i 566 . . . . . . . . . 10
18 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
19 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
201, 2, 18, 19inf3lema 8062 . . . . . . . . . 10
2117, 20sylibr 212 . . . . . . . . 9
221, 2, 3, 4inf3lemc 8064 . . . . . . . . . 10
2322eleq2d 2527 . . . . . . . . 9
2421, 23syl5ibr 221 . . . . . . . 8
25 eldifn 3626 . . . . . . . . . 10
2625adantr 465 . . . . . . . . 9
2726a1i 11 . . . . . . . 8
2824, 27jcad 533 . . . . . . 7
29 eleq2 2530 . . . . . . . . . 10
3029biimprd 223 . . . . . . . . 9
31 iman 424 . . . . . . . . 9
3230, 31sylib 196 . . . . . . . 8
3332necon2ai 2692 . . . . . . 7
3428, 33syl6 33 . . . . . 6
3534expd 436 . . . . 5
3635rexlimdv 2947 . . . 4
3713, 36syl5 32 . . 3
389, 37syld 44 . 2
3938com12 31 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  \cdif 3472  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  U.cuni 4249  e.cmpt 4510  succsuc 4885  |cres 5006  cfv 5593   com 6700  reccrdg 7094 This theorem is referenced by:  inf3lem4  8069 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095
 Copyright terms: Public domain W3C validator