Theorem inf3lem3 8068

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 8073 for detailed description. In the proof, we invoke the Axiom of Regularity in the form of zfreg 8042. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1
inf3lem.2
inf3lem.3
inf3lem.4

Assertion

Ref	Expression
inf3lem3

Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem inf3lem3

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inf3lem.1	. . . . 5
2		inf3lem.2	. . . . 5
3		inf3lem.3	. . . . 5
4		inf3lem.4	. . . . 5
5	1, 2, 3, 4	inf3lemd 8065	. . . 4
6	1, 2, 3, 4	inf3lem2 8067	. . . . 5
7	6	com12 31	. . . 4
8		pssdifn0 3888	. . . 4
9	5, 7, 8	syl6an 545	. . 3
10		vex 3112	. . . . . 6
11		difss 3630	. . . . . 6
12	10, 11	ssexi 4597	. . . . 5
13	12	zfreg 8042	. . . 4
14		eldifi 3625	. . . . . . . . . . 11
15		inssdif0 3895	. . . . . . . . . . . 12
16	15	biimpri 206	. . . . . . . . . . 11
17	14, 16	anim12i 566	. . . . . . . . . 10
18		vex 3112	. . . . . . . . . . 11
19		fvex 5881	. . . . . . . . . . 11
20	1, 2, 18, 19	inf3lema 8062	. . . . . . . . . 10
21	17, 20	sylibr 212	. . . . . . . . 9
22	1, 2, 3, 4	inf3lemc 8064	. . . . . . . . . 10
23	22	eleq2d 2527	. . . . . . . . 9
24	21, 23	syl5ibr 221	. . . . . . . 8
25		eldifn 3626	. . . . . . . . . 10
26	25	adantr 465	. . . . . . . . 9
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8
28	24, 27	jcad 533	. . . . . . 7
29		eleq2 2530	. . . . . . . . . 10
30	29	biimprd 223	. . . . . . . . 9
31		iman 424	. . . . . . . . 9
32	30, 31	sylib 196	. . . . . . . 8
33	32	necon2ai 2692	. . . . . . 7
34	28, 33	syl6 33	. . . . . 6
35	34	expd 436	. . . . 5
36	35	rexlimdv 2947	. . . 4
37	13, 36	syl5 32	. . 3
38	9, 37	syld 44	. 2
39	38	com12 31	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  {crab 2811  cvv 3109  \cdif 3472  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  U.cuni 4249  e.cmpt 4510  succsuc 4885  |`cres 5006  `cfv 5593  com 6700  reccrdg 7094

This theorem is referenced by:  inf3lem4  8069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095