Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem6 Unicode version

Theorem inf3lem6 8071
 Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 8073 for detailed description. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1
inf3lem.2
inf3lem.3
inf3lem.4
Assertion
Ref Expression
inf3lem6
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem inf3lem6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inf3lem.1 . . . . . . . . . . 11
2 inf3lem.2 . . . . . . . . . . 11
3 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
4 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
51, 2, 3, 4inf3lem5 8070 . . . . . . . . . 10
6 dfpss2 3588 . . . . . . . . . . 11
76simprbi 464 . . . . . . . . . 10
85, 7syl6 33 . . . . . . . . 9
98expdimp 437 . . . . . . . 8
109adantrl 715 . . . . . . 7
111, 2, 4, 3inf3lem5 8070 . . . . . . . . . 10
12 dfpss2 3588 . . . . . . . . . . . 12
1312simprbi 464 . . . . . . . . . . 11
14 eqcom 2466 . . . . . . . . . . 11
1513, 14sylnib 304 . . . . . . . . . 10
1611, 15syl6 33 . . . . . . . . 9
1716expdimp 437 . . . . . . . 8
1817adantrr 716 . . . . . . 7
1910, 18jaod 380 . . . . . 6
2019con2d 115 . . . . 5
21 nnord 6708 . . . . . . 7
22 nnord 6708 . . . . . . 7
23 ordtri3 4919 . . . . . . 7
2421, 22, 23syl2an 477 . . . . . 6
2524adantl 466 . . . . 5
2620, 25sylibrd 234 . . . 4
2726ralrimivva 2878 . . 3
28 frfnom 7119 . . . . . 6
29 fneq1 5674 . . . . . 6
3028, 29mpbiri 233 . . . . 5
31 fvelrnb 5920 . . . . . . . 8
32 inf3lem.4 . . . . . . . . . . . 12
331, 2, 4, 32inf3lemd 8065 . . . . . . . . . . 11
34 fvex 5881 . . . . . . . . . . . 12
3534elpw 4018 . . . . . . . . . . 11
3633, 35sylibr 212 . . . . . . . . . 10
37 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
3836, 37syl5ibcom 220 . . . . . . . . 9
3938rexlimiv 2943 . . . . . . . 8
4031, 39syl6bi 228 . . . . . . 7
4140ssrdv 3509 . . . . . 6
4241ancli 551 . . . . 5
432, 30, 42mp2b 10 . . . 4
44 df-f 5597 . . . 4
4543, 44mpbir 209 . . 3
4627, 45jctil 537 . 2
47 dff13 6166 . 2
4846, 47sylibr 212 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  C.wpss 3476   c0 3784  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  e.cmpt 4510  Ordword 4882  rancrn 5005  |cres 5006  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  cfv 5593   com 6700  reccrdg 7094 This theorem is referenced by:  inf3lem7  8072  dominf  8846  dominfac  8969 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095
 Copyright terms: Public domain W3C validator