Theorem inf3lem6 8071

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 8073 for detailed description. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1
inf3lem.2
inf3lem.3
inf3lem.4

Assertion

Ref	Expression
inf3lem6

Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem inf3lem6

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inf3lem.1	. . . . . . . . . . 11
2		inf3lem.2	. . . . . . . . . . 11
3		vex 3112	. . . . . . . . . . 11
4		vex 3112	. . . . . . . . . . 11
5	1, 2, 3, 4	inf3lem5 8070	. . . . . . . . . 10
6		dfpss2 3588	. . . . . . . . . . 11
7	6	simprbi 464	. . . . . . . . . 10
8	5, 7	syl6 33	. . . . . . . . 9
9	8	expdimp 437	. . . . . . . 8
10	9	adantrl 715	. . . . . . 7
11	1, 2, 4, 3	inf3lem5 8070	. . . . . . . . . 10
12		dfpss2 3588	. . . . . . . . . . . 12
13	12	simprbi 464	. . . . . . . . . . 11
14		eqcom 2466	. . . . . . . . . . 11
15	13, 14	sylnib 304	. . . . . . . . . 10
16	11, 15	syl6 33	. . . . . . . . 9
17	16	expdimp 437	. . . . . . . 8
18	17	adantrr 716	. . . . . . 7
19	10, 18	jaod 380	. . . . . 6
20	19	con2d 115	. . . . 5
21		nnord 6708	. . . . . . 7
22		nnord 6708	. . . . . . 7
23		ordtri3 4919	. . . . . . 7
24	21, 22, 23	syl2an 477	. . . . . 6
25	24	adantl 466	. . . . 5
26	20, 25	sylibrd 234	. . . 4
27	26	ralrimivva 2878	. . 3
28		frfnom 7119	. . . . . 6
29		fneq1 5674	. . . . . 6
30	28, 29	mpbiri 233	. . . . 5
31		fvelrnb 5920	. . . . . . . 8
32		inf3lem.4	. . . . . . . . . . . 12
33	1, 2, 4, 32	inf3lemd 8065	. . . . . . . . . . 11
34		fvex 5881	. . . . . . . . . . . 12
35	34	elpw 4018	. . . . . . . . . . 11
36	33, 35	sylibr 212	. . . . . . . . . 10
37		eleq1 2529	. . . . . . . . . 10
38	36, 37	syl5ibcom 220	. . . . . . . . 9
39	38	rexlimiv 2943	. . . . . . . 8
40	31, 39	syl6bi 228	. . . . . . 7
41	40	ssrdv 3509	. . . . . 6
42	41	ancli 551	. . . . 5
43	2, 30, 42	mp2b 10	. . . 4
44		df-f 5597	. . . 4
45	43, 44	mpbir 209	. . 3
46	27, 45	jctil 537	. 2
47		dff13 6166	. 2
48	46, 47	sylibr 212	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  C.wpss 3476  c0 3784  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  e.cmpt 4510  Ordword 4882  rancrn 5005  |`cres 5006  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  `cfv 5593  com 6700  reccrdg 7094

This theorem is referenced by:  inf3lem7  8072  dominf  8846  dominfac  8969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095