Theorem inf3lem5 8070

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 8073 for detailed description. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1
inf3lem.2
inf3lem.3
inf3lem.4

Assertion

Ref	Expression
inf3lem5

Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem inf3lem5

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 6710	. . . 4
2	1	ancoms 453	. . 3
3		nnord 6708	. . . . . . 7
4		ordsucss 6653	. . . . . . 7
5	3, 4	syl 16	. . . . . 6
6	5	adantr 465	. . . . 5
7		peano2b 6716	. . . . . 6
8		fveq2 5871	. . . . . . . . . 10
9	8	psseq2d 3596	. . . . . . . . 9
10	9	imbi2d 316	. . . . . . . 8
11		fveq2 5871	. . . . . . . . . 10
12	11	psseq2d 3596	. . . . . . . . 9
13	12	imbi2d 316	. . . . . . . 8
14		fveq2 5871	. . . . . . . . . 10
15	14	psseq2d 3596	. . . . . . . . 9
16	15	imbi2d 316	. . . . . . . 8
17		fveq2 5871	. . . . . . . . . 10
18	17	psseq2d 3596	. . . . . . . . 9
19	18	imbi2d 316	. . . . . . . 8
20		inf3lem.1	. . . . . . . . . . 11
21		inf3lem.2	. . . . . . . . . . 11
22		inf3lem.4	. . . . . . . . . . 11
23	20, 21, 22, 22	inf3lem4 8069	. . . . . . . . . 10
24	23	com12 31	. . . . . . . . 9
25	7, 24	sylbir 213	. . . . . . . 8
26		vex 3112	. . . . . . . . . . . 12
27	20, 21, 26, 22	inf3lem4 8069	. . . . . . . . . . 11
28		psstr 3607	. . . . . . . . . . . 12
29	28	expcom 435	. . . . . . . . . . 11
30	27, 29	syl6com 35	. . . . . . . . . 10
31	30	a2d 26	. . . . . . . . 9
32	31	ad2antrr 725	. . . . . . . 8
33	10, 13, 16, 19, 25, 32	findsg 6727	. . . . . . 7
34	33	ex 434	. . . . . 6
35	7, 34	sylan2b 475	. . . . 5
36	6, 35	syld 44	. . . 4
37	36	impancom 440	. . 3
38	2, 37	mpd 15	. 2
39	38	com12 31	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  {crab 2811  cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  C.wpss 3476  c0 3784  U.cuni 4249  e.cmpt 4510  Ordword 4882  succsuc 4885  |`cres 5006  `cfv 5593  com 6700  reccrdg 7094

This theorem is referenced by:  inf3lem6  8071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-reg 8039

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095