Theorem ingru 9214

Description: The intersection of a universe with a class that acts like a universe is another universe. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ingru

Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem ingru

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 3692	. . . . 5
2	1	eleq1d 2526	. . . 4
3	2	imbi2d 316	. . 3
4		elgrug 9191	. . . . . 6
5	4	ibi 241	. . . . 5
6		trin 4555	. . . . . . 7
7	6	ex 434	. . . . . 6
8		inss1 3717	. . . . . . . 8
9		ssralv 3563	. . . . . . . 8
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7
11		inss2 3718	. . . . . . . 8
12		ssralv 3563	. . . . . . . 8
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7
14		elin 3686	. . . . . . . . . . . . 13
15	14	simplbi2 625	. . . . . . . . . . . 12
16		ssralv 3563	. . . . . . . . . . . . . 14
17	8, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
18		ssralv 3563	. . . . . . . . . . . . . 14
19	11, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
20		elin 3686	. . . . . . . . . . . . . . 15
21	20	simplbi2 625	. . . . . . . . . . . . . 14
22	21	ral2imi 2845	. . . . . . . . . . . . 13
23	17, 19, 22	syl2im 38	. . . . . . . . . . . 12
24	15, 23	im2anan9 835	. . . . . . . . . . 11
25		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . 14
26		mapss 7481	. . . . . . . . . . . . . 14
27	25, 8, 26	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . 13
28		ssralv 3563	. . . . . . . . . . . . 13
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
30	25	inex1 4593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
31		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
32	30, 31	elmap 7467	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33		fss 5744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
34	11, 33	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . 16
35	32, 34	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . 15
36	35	imim1i 58	. . . . . . . . . . . . . 14
37	36	alimi 1633	. . . . . . . . . . . . 13
38		df-ral 2812	. . . . . . . . . . . . 13
39	37, 38	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12
40		elin 3686	. . . . . . . . . . . . . 14
41	40	simplbi2 625	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	ral2imi 2845	. . . . . . . . . . . 12
43	29, 39, 42	syl2im 38	. . . . . . . . . . 11
44	24, 43	im2anan9 835	. . . . . . . . . 10
45	44	3impa 1191	. . . . . . . . 9
46		df-3an 975	. . . . . . . . 9
47		df-3an 975	. . . . . . . . 9
48	45, 46, 47	3imtr4g 270	. . . . . . . 8
49	48	ral2imi 2845	. . . . . . 7
50	10, 13, 49	syl2im 38	. . . . . 6
51	7, 50	im2anan9 835	. . . . 5
52	5, 51	syl 16	. . . 4
53		elgrug 9191	. . . . 5
54	30, 53	ax-mp 5	. . . 4
55	52, 54	syl6ibr 227	. . 3
56	3, 55	vtoclga 3173	. 2
57	56	com12 31	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  ~Pcpw 4012  {cpr 4031  U.cuni 4249  Trwtr 4545  rancrn 5005  -->wf 5589  (class class class)co 6296  cmap 7439  cgru 9189

This theorem is referenced by:  wfgru  9215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-map 7441  df-gru 9190