Theorem ioojoin 11680

Description: Join two open intervals to create a third. (Contributed by NM, 11-Aug-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ioojoin

Proof of Theorem ioojoin

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unass 3660	. 2
2		snunioo 11675	. . . . . . 7
3	2	3expa 1196	. . . . . 6
4	3	3adantl1 1152	. . . . 5
5	4	adantrl 715	. . . 4
6	5	uneq2d 3657	. . 3
7		df-ioo 11562	. . . 4
8		df-ico 11564	. . . 4
9		xrlenlt 9673	. . . 4
10		xrlttr 11375	. . . 4
11		xrltletr 11389	. . . 4
12	7, 8, 9, 7, 10, 11	ixxun 11574	. . 3
13	6, 12	eqtrd 2498	. 2
14	1, 13	syl5eq 2510	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  u.cun 3473  {csn 4029   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cxr 9648  clt 9649  cle 9650  cioo 11558  cico 11560

This theorem is referenced by:  reconnlem1  21331  itgsplitioo  22244  lhop  22417  iocunico  31178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-ioo 11562  df-ico 11564  df-icc 11565