Theorem iscard2 8378

Description: Two ways to express the property of being a cardinal number. Definition 8 of [Suppes] p. 225. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
iscard2

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem iscard2

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardon 8346	. . 3
2		eleq1 2529	. . 3
3	1, 2	mpbii 211	. 2
4		cardonle 8359	. . . . . 6
5	4	biantrurd 508	. . . . 5
6		eqss 3518	. . . . 5
7	5, 6	syl6rbbr 264	. . . 4
8		oncardval 8357	. . . . 5
9	8	sseq2d 3531	. . . 4
10	7, 9	bitrd 253	. . 3
11		ssint 4302	. . . 4
12		breq1 4455	. . . . . . . . 9
13	12	elrab 3257	. . . . . . . 8
14		ensymb 7583	. . . . . . . . 9
15	14	anbi2i 694	. . . . . . . 8
16	13, 15	bitri 249	. . . . . . 7
17	16	imbi1i 325	. . . . . 6
18		impexp 446	. . . . . 6
19	17, 18	bitri 249	. . . . 5
20	19	ralbii2 2886	. . . 4
21	11, 20	bitri 249	. . 3
22	10, 21	syl6bb 261	. 2
23	3, 22	biadan2 642	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811  C_wss 3475  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  con0 4883  `cfv 5593  cen 7533  ccrd 8337

This theorem is referenced by:  harcard  8380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-card 8341