Theorem iscard 8377

Description: Two ways to express the property of being a cardinal number. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
iscard

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem iscard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardon 8346	. . 3
2		eleq1 2529	. . 3
3	1, 2	mpbii 211	. 2
4		cardonle 8359	. . . 4
5		eqss 3518	. . . . 5
6	5	baibr 904	. . . 4
7	4, 6	syl 16	. . 3
8		onelon 4908	. . . . . 6
9		onenon 8351	. . . . . . 7
10	9	adantr 465	. . . . . 6
11		cardsdomel 8376	. . . . . 6
12	8, 10, 11	syl2anc 661	. . . . 5
13	12	ralbidva 2893	. . . 4
14		dfss3 3493	. . . 4
15	13, 14	syl6rbbr 264	. . 3
16	7, 15	bitr3d 255	. 2
17	3, 16	biadan2 642	1

Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  C_wss 3475   class class class wbr 4452  con0 4883  domcdm 5004  `cfv 5593  csdm 7535  ccrd 8337

This theorem is referenced by:  cardprclem  8381  cardmin2  8400  infxpenlem  8412  alephsuc2  8482  cardmin  8960  alephreg  8978  pwcfsdom  8979  winalim2  9095  gchina  9098  inar1  9174  r1tskina  9181  gruina  9217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-card 8341