Theorem inar1 9174

Description: for a strongly inaccessible cardinal is equipotent to . (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
inar1

Proof of Theorem inar1

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inawina 9089	. . . . . 6
2		winaon 9087	. . . . . 6
3	1, 2	syl 16	. . . . 5
4		winalim 9094	. . . . . 6
5	1, 4	syl 16	. . . . 5
6		r1lim 8211	. . . . 5
7	3, 5, 6	syl2anc 661	. . . 4
8		onelon 4908	. . . . . . . . 9
9	3, 8	sylan 471	. . . . . . . 8
10		eleq1 2529	. . . . . . . . . . 11
11		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
12	11	breq1d 4462	. . . . . . . . . . 11
13	10, 12	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10
14		eleq1 2529	. . . . . . . . . . 11
15		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
16	15	breq1d 4462	. . . . . . . . . . 11
17	14, 16	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10
18		eleq1 2529	. . . . . . . . . . 11
19		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
20	19	breq1d 4462	. . . . . . . . . . 11
21	18, 20	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10
22		ne0i 3790	. . . . . . . . . . . . 13
23		0sdomg 7666	. . . . . . . . . . . . 13
24	22, 23	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . 12
25		r10 8207	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	breq1i 4459	. . . . . . . . . . . 12
27	24, 26	syl6ibr 227	. . . . . . . . . . 11
28	1, 2, 27	3syl 20	. . . . . . . . . 10
29		eloni 4893	. . . . . . . . . . . . . . 15
30		ordtr 4897	. . . . . . . . . . . . . . 15
31	29, 30	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14
32		trsuc 4967	. . . . . . . . . . . . . . 15
33	32	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14
34	3, 31, 33	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13
35	34	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
36		r1suc 8209	. . . . . . . . . . . . . . 15
37		fvex 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
38	37	cardid 8943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
39	38	ensymi 7585	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40		pwen 7710	. . . . . . . . . . . . . . . 16
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
42	36, 41	syl6eqbr 4489	. . . . . . . . . . . . . 14
43		winacard 9091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
44	43	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
45		cardsdom 8951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
46	37, 2, 45	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
47	44, 46	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
48	1, 47	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49		elina 9086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
50	49	simp3bi 1013	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
51		pweq 4015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
52	51	breq1d 4462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53	52	rspccv 3207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
54	50, 53	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16
55	48, 54	sylbird 235	. . . . . . . . . . . . . . 15
56	55	imp 429	. . . . . . . . . . . . . 14
57		ensdomtr 7673	. . . . . . . . . . . . . 14
58	42, 56, 57	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . 13
59	58	expr 615	. . . . . . . . . . . 12
60	35, 59	imim12d 74	. . . . . . . . . . 11
61	60	ex 434	. . . . . . . . . 10
62		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . 16
63		r1lim 8211	. . . . . . . . . . . . . . . 16
64	62, 63	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . 15
65		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
66		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
68		nfiu1 4360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
69	66, 67, 68	nfbr 4496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
70		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
71	70	breq1d 4462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
72		fvex 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
73	62, 72	iunex 6780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
74		ssiun2 4373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
75		ssdomg 7581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
76	73, 74, 75	mpsyl 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
77		endomtr 7593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
78	39, 76, 77	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
79	65, 69, 71, 78	vtoclgaf 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
80	79	rgen 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
81		iundom 8938	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
82	62, 80, 81	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . . . 16
83	62, 73	unex 6598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
84		ssun2 3667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
85		ssdomg 7581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
86	83, 84, 85	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87	62	xpdom2 7632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
88	86, 87	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
89		ssun1 3666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
90		ssdomg 7581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
91	83, 89, 90	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
92	83	xpdom1 7636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93	91, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
94		domtr 7588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
95	88, 93, 94	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
96		limomss 6705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
97	96, 89	syl6ss 3515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
98		ssdomg 7581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
99	83, 97, 98	mpsyl 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
100		infxpidm 8958	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
101	99, 100	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
102		domentr 7594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
103	95, 101, 102	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . 16
104		domtr 7588	. . . . . . . . . . . . . . . 16
105	82, 103, 104	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . 15
106	64, 105	eqbrtrd 4472	. . . . . . . . . . . . . 14
107	106	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13
108		eleq1a 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
109		ordirr 4901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
110	3, 29, 109	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111	108, 110	nsyli 141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112	111	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
113	112	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16
114		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115		limord 4942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
116	62	elon 4892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
117	115, 116	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
118	117	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
119		cardf 8946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
120		r1fnon 8206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
121		dffn2 5737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
122	120, 121	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
123		fco 5746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
124	119, 122, 123	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
125		onss 6626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
126		fssres 5756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
127	124, 125, 126	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
128		ffn 5736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
129	118, 127, 128	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130	3	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
131		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
132		simplll 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
133		ontr1 4929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
134	133	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
135	130, 131, 132, 134	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
136	37, 130, 45	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
137	1, 43	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
138	137	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
139	138	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
140	136, 139	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
141	140	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
142	135, 141	embantd 54	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
143	117	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
144		fvres 5885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
145	144	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
146		onelon 4908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
147		fvco3 5950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
148	122, 146, 147	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
149	145, 148	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
150	143, 149	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
151	150	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
152	142, 151	sylibrd 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
153	152	ralimdva 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
154	153	impr 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
155		ffnfv 6057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
156	129, 154, 155	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
157		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
158	157	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
159		eliun 4335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
160		cardon 8346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
161	160	onelssi 4991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
162	149	sseq2d 3531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
163	161, 162	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
164	163	reximdva 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
165	159, 164	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
166	158, 165	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
167	166	expdimp 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
168	167	ralrimiv 2869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
169	168	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
170	118, 169	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
171		ffun 5738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
172	124, 171	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
173		resfunexg 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
174	172, 62, 173	mp2an 672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
175		feq1 5718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
176		fveq1 5870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
177	176	sseq2d 3531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
178	177	rexbidv 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
179	178	ralbidv 2896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
180	175, 179	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
181	174, 180	spcev 3201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
182	156, 170, 181	syl6an 545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
183	3	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
184		cfflb 8660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
185	183, 118, 184	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
186	182, 185	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
187	49	simp2bi 1012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
188	187	sseq1d 3530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
189	188	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
190	186, 189	sylibd 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
191		ontri1 4917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
192	183, 118, 191	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
193	190, 192	sylibd 214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
194	114, 193	mt2d 117	. . . . . . . . . . . . . . . 16
195	62, 72	iunonOLD 7029	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
196	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
197	195, 196	mprg 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
198		eqcom 2466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
199		eloni 4893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
200		eloni 4893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
201		ordequn 4983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
202	199, 200, 201	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
203	198, 202	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
204	118, 197, 203	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . 16
205	113, 194, 204	mtord 660	. . . . . . . . . . . . . . 15
206		onelss 4925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
207	183, 114, 206	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
208		onelss 4925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
209	130, 142, 208	sylsyld 56	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
210	209	ralimdva 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
211	210	impr 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
212		iunss 4371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
213	211, 212	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
214	207, 213	unssd 3679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
215		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
216		iuneq1 4344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
217	215, 216	uneq12d 3658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
218	217	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
219		0elon 4936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
220	219	elimel 4004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
221	220	elexi 3119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
222	221, 72	iunonOLD 7029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
223	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
224	222, 223	mprg 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
225	220, 224	onun2i 4998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
226	218, 225	dedth 3993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
227	117, 226	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
228	227	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
229	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
230		onsseleq 4924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
231	228, 229, 230	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
232	214, 231	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
233	232	orcomd 388	. . . . . . . . . . . . . . . 16
234	233	ord 377	. . . . . . . . . . . . . . 15
235	205, 234	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14
236	137	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . 15
237		iscard 8377	. . . . . . . . . . . . . . . 16
238	237	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . 15
239		breq1 4455	. . . . . . . . . . . . . . . 16
240	239	rspccv 3207	. . . . . . . . . . . . . . 15
241	236, 238, 240	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . 14
242	235, 241	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13
243		domsdomtr 7672	. . . . . . . . . . . . 13
244	107, 242, 243	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
245	244	exp43 612	. . . . . . . . . . 11
246	245	com4l 84	. . . . . . . . . 10
247	13, 17, 21, 28, 61, 246	tfinds2 6698	. . . . . . . . 9
248	247	impd 431	. . . . . . . 8
249	9, 248	mpcom 36	. . . . . . 7
250		sdomdom 7563	. . . . . . 7
251	249, 250	syl 16	. . . . . 6
252	251	ralrimiva 2871	. . . . 5
253		iundom 8938	. . . . 5
254	3, 252, 253	syl2anc 661	. . . 4
255	7, 254	eqbrtrd 4472	. . 3
256		winainf 9093	. . . . 5
257	1, 256	syl 16	. . . 4
258		infxpen 8413	. . . 4
259	3, 257, 258	syl2anc 661	. . 3
260		domentr 7594	. . 3
261	255, 259, 260	syl2anc 661	. 2
262		fvex 5881	. . 3
263	122	fdmi 5741	. . . . 5
264	2, 263	syl6eleqr 2556	. . . 4
265		onssr1 8270	. . . 4
266	1, 264, 265	3syl 20	. . 3
267		ssdomg 7581	. . 3
268	262, 266, 267	mpsyl 63	. 2
269		sbth 7657	. 2
270	261, 268, 269	syl2anc 661	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  u.cun 3473  C_wss 3475  c0 3784  ifcif 3941  ~Pcpw 4012  U_ciun 4330   class class class wbr 4452  Trwtr 4545  Ordword 4882  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  X.cxp 5002  domcdm 5004  |`cres 5006  o.ccom 5008  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  com 6700  cen 7533  cdom 7534  csdm 7535  cr1 8201  ccrd 8337  ccf 8339  cwina 9081  cina 9082

This theorem is referenced by:  r1omALT  9175  inatsk  9177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-ac2 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-r1 8203  df-rank 8204  df-card 8341  df-cf 8343  df-acn 8344  df-ac 8518  df-wina 9083  df-ina 9084