Theorem isotr 6232

Description: Composition (transitive) law for isomorphism. Proposition 6.30(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
isotr

Proof of Theorem isotr

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. . . 4
2		simpl 457	. . . 4
3		f1oco 5843	. . . 4
4	1, 2, 3	syl2anr 478	. . 3
5		f1of 5821	. . . . . . . . . . . 12
6	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11
7		simprl 756	. . . . . . . . . . 11
8	6, 7	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . . 10
9		simprr 757	. . . . . . . . . . 11
10	6, 9	ffvelrnd 6032	. . . . . . . . . 10
11		simplrr 762	. . . . . . . . . 10
12		breq1 4455	. . . . . . . . . . . 12
13		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . 13
14	13	breq1d 4462	. . . . . . . . . . . 12
15	12, 14	bibi12d 321	. . . . . . . . . . 11
16		breq2 4456	. . . . . . . . . . . 12
17		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . 13
18	17	breq2d 4464	. . . . . . . . . . . 12
19	16, 18	bibi12d 321	. . . . . . . . . . 11
20	15, 19	rspc2va 3220	. . . . . . . . . 10
21	8, 10, 11, 20	syl21anc 1227	. . . . . . . . 9
22		fvco3 5950	. . . . . . . . . . 11
23	6, 7, 22	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
24		fvco3 5950	. . . . . . . . . . 11
25	6, 9, 24	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
26	23, 25	breq12d 4465	. . . . . . . . 9
27	21, 26	bitr4d 256	. . . . . . . 8
28	27	bibi2d 318	. . . . . . 7
29	28	2ralbidva 2899	. . . . . 6
30	29	biimpd 207	. . . . 5
31	30	impancom 440	. . . 4
32	31	imp 429	. . 3
33	4, 32	jca 532	. 2
34		df-isom 5602	. . 3
35		df-isom 5602	. . 3
36	34, 35	anbi12i 697	. 2
37		df-isom 5602	. 2
38	33, 36, 37	3imtr4i 266	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   class class class wbr 4452  o.ccom 5008  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594

This theorem is referenced by:  weisoeq  6251  oieu  7985  fz1isolem  12510  erdsze2lem2  28648  fzisoeu  31500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602