Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isotr Unicode version

Theorem isotr 6232
 Description: Composition (transitive) law for isomorphism. Proposition 6.30(3) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isotr

Proof of Theorem isotr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4
2 simpl 457 . . . 4
3 f1oco 5843 . . . 4
41, 2, 3syl2anr 478 . . 3
5 f1of 5821 . . . . . . . . . . . 12
65ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
7 simprl 756 . . . . . . . . . . 11
86, 7ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . 10
9 simprr 757 . . . . . . . . . . 11
106, 9ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . 10
11 simplrr 762 . . . . . . . . . 10
12 breq1 4455 . . . . . . . . . . . 12
13 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
1413breq1d 4462 . . . . . . . . . . . 12
1512, 14bibi12d 321 . . . . . . . . . . 11
16 breq2 4456 . . . . . . . . . . . 12
17 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
1817breq2d 4464 . . . . . . . . . . . 12
1916, 18bibi12d 321 . . . . . . . . . . 11
2015, 19rspc2va 3220 . . . . . . . . . 10
218, 10, 11, 20syl21anc 1227 . . . . . . . . 9
22 fvco3 5950 . . . . . . . . . . 11
236, 7, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
24 fvco3 5950 . . . . . . . . . . 11
256, 9, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
2623, 25breq12d 4465 . . . . . . . . 9
2721, 26bitr4d 256 . . . . . . . 8
2827bibi2d 318 . . . . . . 7
29282ralbidva 2899 . . . . . 6
3029biimpd 207 . . . . 5
3130impancom 440 . . . 4
3231imp 429 . . 3
334, 32jca 532 . 2
34 df-isom 5602 . . 3
35 df-isom 5602 . . 3
3634, 35anbi12i 697 . 2
37 df-isom 5602 . 2
3833, 36, 373imtr4i 266 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   class class class wbr 4452  o.ccom 5008  -->wf 5589  -1-1-onto->wf1o 5592  cfv 5593  Isom`wiso 5594 This theorem is referenced by:  weisoeq  6251  oieu  7985  fz1isolem  12510  erdsze2lem2  28648  fzisoeu  31500 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602
 Copyright terms: Public domain W3C validator