Theorem itunitc1 8821

Description: Each union iterate is a member of the transitive closure. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ituni.u

Assertion

Ref	Expression
itunitc1

Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem itunitc1

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5871	. . . . 5
2	1	fveq1d 5873	. . . 4
3		fveq2 5871	. . . 4
4	2, 3	sseq12d 3532	. . 3
5		fveq2 5871	. . . . . 6
6	5	sseq1d 3530	. . . . 5
7		fveq2 5871	. . . . . 6
8	7	sseq1d 3530	. . . . 5
9		fveq2 5871	. . . . . 6
10	9	sseq1d 3530	. . . . 5
11		fveq2 5871	. . . . . 6
12	11	sseq1d 3530	. . . . 5
13		vex 3112	. . . . . 6
14		ituni.u	. . . . . . . 8
15	14	ituni0 8819	. . . . . . 7
16		tcid 8191	. . . . . . 7
17	15, 16	eqsstrd 3537	. . . . . 6
18	13, 17	ax-mp 5	. . . . 5
19	14	itunisuc 8820	. . . . . . 7
20		tctr 8192	. . . . . . . . . 10
21		pwtr 4705	. . . . . . . . . 10
22	20, 21	mpbi 208	. . . . . . . . 9
23		trss 4554	. . . . . . . . 9
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . 8
25		fvex 5881	. . . . . . . . 9
26	25	elpw 4018	. . . . . . . 8
27		sspwuni 4416	. . . . . . . 8
28	24, 26, 27	3imtr3i 265	. . . . . . 7
29	19, 28	syl5eqss 3547	. . . . . 6
30	29	a1i 11	. . . . 5
31	6, 8, 10, 12, 18, 30	finds 6726	. . . 4
32	14	itunifn 8818	. . . . . . . 8
33		fndm 5685	. . . . . . . 8
34	13, 32, 33	mp2b 10	. . . . . . 7
35	34	eleq2i 2535	. . . . . 6
36		ndmfv 5895	. . . . . 6
37	35, 36	sylnbir 307	. . . . 5
38		0ss 3814	. . . . 5
39	37, 38	syl6eqss 3553	. . . 4
40	31, 39	pm2.61i 164	. . 3
41	4, 40	vtoclg 3167	. 2
42		fvprc 5865	. . . . 5
43	42	fveq1d 5873	. . . 4
44		0fv 5904	. . . 4
45	43, 44	syl6eq 2514	. . 3
46		0ss 3814	. . 3
47	45, 46	syl6eqss 3553	. 2
48	41, 47	pm2.61i 164	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  ~Pcpw 4012  U.cuni 4249  e.cmpt 4510  Trwtr 4545  succsuc 4885  domcdm 5004  |`cres 5006  Fnwfn 5588  `cfv 5593  com 6700  reccrdg 7094  ctc 8188

This theorem is referenced by:  itunitc  8822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-tc 8189