Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itunitc Unicode version

Theorem itunitc 8822
 Description: The union of all union iterates creates the transitive closure; compare trcl 8180. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ituni.u
Assertion
Ref Expression
itunitc
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem itunitc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5871 . . . 4
2 fveq2 5871 . . . . . 6
32rneqd 5235 . . . . 5
43unieqd 4259 . . . 4
51, 4eqeq12d 2479 . . 3
6 vex 3112 . . . . . . 7
7 ituni.u . . . . . . . 8
87ituni0 8819 . . . . . . 7
96, 8ax-mp 5 . . . . . 6
10 fvssunirn 5894 . . . . . 6
119, 10eqsstr3i 3534 . . . . 5
12 dftr3 4549 . . . . . 6
137itunifn 8818 . . . . . . . 8
14 fnunirn 6165 . . . . . . . 8
156, 13, 14mp2b 10 . . . . . . 7
16 elssuni 4279 . . . . . . . . 9
177itunisuc 8820 . . . . . . . . . 10
18 fvssunirn 5894 . . . . . . . . . 10
1917, 18eqsstr3i 3534 . . . . . . . . 9
2016, 19syl6ss 3515 . . . . . . . 8
2120rexlimivw 2946 . . . . . . 7
2215, 21sylbi 195 . . . . . 6
2312, 22mprgbir 2821 . . . . 5
24 tcmin 8193 . . . . . 6
256, 24ax-mp 5 . . . . 5
2611, 23, 25mp2an 672 . . . 4
27 unissb 4281 . . . . 5
28 fvelrnb 5920 . . . . . . 7
296, 13, 28mp2b 10 . . . . . 6
307itunitc1 8821 . . . . . . . . 9
3130a1i 11 . . . . . . . 8
32 sseq1 3524 . . . . . . . 8
3331, 32syl5ibcom 220 . . . . . . 7
3433rexlimiv 2943 . . . . . 6
3529, 34sylbi 195 . . . . 5
3627, 35mprgbir 2821 . . . 4
3726, 36eqssi 3519 . . 3
385, 37vtoclg 3167 . 2
39 rn0 5259 . . . . 5
4039unieqi 4258 . . . 4
41 uni0 4276 . . . 4
4240, 41eqtr2i 2487 . . 3
43 fvprc 5865 . . 3
44 fvprc 5865 . . . . 5
4544rneqd 5235 . . . 4
4645unieqd 4259 . . 3
4742, 43, 463eqtr4a 2524 . 2
4838, 47pm2.61i 164 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  U.cuni 4249  e.cmpt 4510  Trwtr 4545  succsuc 4885  rancrn 5005  |cres 5006  Fnwfn 5588  cfv 5593   com 6700  reccrdg 7094   ctc 8188 This theorem is referenced by:  hsmexlem5  8831 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-tc 8189
 Copyright terms: Public domain W3C validator