Theorem itunitc 8822

Description: The union of all union iterates creates the transitive closure; compare trcl 8180. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ituni.u

Assertion

Ref	Expression
itunitc

Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem itunitc

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5871	. . . 4
2		fveq2 5871	. . . . . 6
3	2	rneqd 5235	. . . . 5
4	3	unieqd 4259	. . . 4
5	1, 4	eqeq12d 2479	. . 3
6		vex 3112	. . . . . . 7
7		ituni.u	. . . . . . . 8
8	7	ituni0 8819	. . . . . . 7
9	6, 8	ax-mp 5	. . . . . 6
10		fvssunirn 5894	. . . . . 6
11	9, 10	eqsstr3i 3534	. . . . 5
12		dftr3 4549	. . . . . 6
13	7	itunifn 8818	. . . . . . . 8
14		fnunirn 6165	. . . . . . . 8
15	6, 13, 14	mp2b 10	. . . . . . 7
16		elssuni 4279	. . . . . . . . 9
17	7	itunisuc 8820	. . . . . . . . . 10
18		fvssunirn 5894	. . . . . . . . . 10
19	17, 18	eqsstr3i 3534	. . . . . . . . 9
20	16, 19	syl6ss 3515	. . . . . . . 8
21	20	rexlimivw 2946	. . . . . . 7
22	15, 21	sylbi 195	. . . . . 6
23	12, 22	mprgbir 2821	. . . . 5
24		tcmin 8193	. . . . . 6
25	6, 24	ax-mp 5	. . . . 5
26	11, 23, 25	mp2an 672	. . . 4
27		unissb 4281	. . . . 5
28		fvelrnb 5920	. . . . . . 7
29	6, 13, 28	mp2b 10	. . . . . 6
30	7	itunitc1 8821	. . . . . . . . 9
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8
32		sseq1 3524	. . . . . . . 8
33	31, 32	syl5ibcom 220	. . . . . . 7
34	33	rexlimiv 2943	. . . . . 6
35	29, 34	sylbi 195	. . . . 5
36	27, 35	mprgbir 2821	. . . 4
37	26, 36	eqssi 3519	. . 3
38	5, 37	vtoclg 3167	. 2
39		rn0 5259	. . . . 5
40	39	unieqi 4258	. . . 4
41		uni0 4276	. . . 4
42	40, 41	eqtr2i 2487	. . 3
43		fvprc 5865	. . 3
44		fvprc 5865	. . . . 5
45	44	rneqd 5235	. . . 4
46	45	unieqd 4259	. . 3
47	42, 43, 46	3eqtr4a 2524	. 2
48	38, 47	pm2.61i 164	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  U.cuni 4249  e.cmpt 4510  Trwtr 4545  succsuc 4885  rancrn 5005  |`cres 5006  Fnwfn 5588  `cfv 5593  com 6700  reccrdg 7094  ctc 8188

This theorem is referenced by:  hsmexlem5  8831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-tc 8189