Theorem ituniiun 8823

Description: Unwrap an iterated union from the "other end". (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ituni.u

Assertion

Ref	Expression
ituniiun

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,

Proof of Theorem ituniiun

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5871	. . . 4
2	1	fveq1d 5873	. . 3
3		iuneq1 4344	. . 3
4	2, 3	eqeq12d 2479	. 2
5		suceq 4948	. . . . . 6
6	5	fveq2d 5875	. . . . 5
7		fveq2 5871	. . . . . 6
8	7	iuneq2d 4357	. . . . 5
9	6, 8	eqeq12d 2479	. . . 4
10		suceq 4948	. . . . . 6
11	10	fveq2d 5875	. . . . 5
12		fveq2 5871	. . . . . 6
13	12	iuneq2d 4357	. . . . 5
14	11, 13	eqeq12d 2479	. . . 4
15		suceq 4948	. . . . . 6
16	15	fveq2d 5875	. . . . 5
17		fveq2 5871	. . . . . 6
18	17	iuneq2d 4357	. . . . 5
19	16, 18	eqeq12d 2479	. . . 4
20		suceq 4948	. . . . . 6
21	20	fveq2d 5875	. . . . 5
22		fveq2 5871	. . . . . 6
23	22	iuneq2d 4357	. . . . 5
24	21, 23	eqeq12d 2479	. . . 4
25		uniiun 4383	. . . . 5
26		ituni.u	. . . . . . 7
27	26	itunisuc 8820	. . . . . 6
28		vex 3112	. . . . . . . 8
29	26	ituni0 8819	. . . . . . . 8
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . 7
31	30	unieqi 4258	. . . . . 6
32	27, 31	eqtri 2486	. . . . 5
33	26	ituni0 8819	. . . . . 6
34	33	iuneq2i 4349	. . . . 5
35	25, 32, 34	3eqtr4i 2496	. . . 4
36	26	itunisuc 8820	. . . . . 6
37		unieq 4257	. . . . . . 7
38	26	itunisuc 8820	. . . . . . . . . 10
39	38	a1i 11	. . . . . . . . 9
40	39	iuneq2i 4349	. . . . . . . 8
41		iuncom4 4338	. . . . . . . 8
42	40, 41	eqtr2i 2487	. . . . . . 7
43	37, 42	syl6eq 2514	. . . . . 6
44	36, 43	syl5eq 2510	. . . . 5
45	44	a1i 11	. . . 4
46	9, 14, 19, 24, 35, 45	finds 6726	. . 3
47		iun0 4386	. . . . 5
48	47	eqcomi 2470	. . . 4
49		peano2b 6716	. . . . . 6
50	26	itunifn 8818	. . . . . . . 8
51		fndm 5685	. . . . . . . 8
52	28, 50, 51	mp2b 10	. . . . . . 7
53	52	eleq2i 2535	. . . . . 6
54	49, 53	bitr4i 252	. . . . 5
55		ndmfv 5895	. . . . 5
56	54, 55	sylnbi 306	. . . 4
57		vex 3112	. . . . . . . 8
58	26	itunifn 8818	. . . . . . . 8
59		fndm 5685	. . . . . . . 8
60	57, 58, 59	mp2b 10	. . . . . . 7
61	60	eleq2i 2535	. . . . . 6
62		ndmfv 5895	. . . . . 6
63	61, 62	sylnbir 307	. . . . 5
64	63	iuneq2d 4357	. . . 4
65	48, 56, 64	3eqtr4a 2524	. . 3
66	46, 65	pm2.61i 164	. 2
67	4, 66	vtoclg 3167	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  c0 3784  U.cuni 4249  U_ciun 4330  e.cmpt 4510  succsuc 4885  domcdm 5004  |`cres 5006  Fnwfn 5588  `cfv 5593  com 6700  reccrdg 7094

This theorem is referenced by:  hsmexlem4  8830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095