Theorem ixpsnf1o 7529

Description: A bijection between a class and single-point functions to it. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixpsnf1o.f

Assertion

Ref	Expression
ixpsnf1o

Distinct variable groups:   ,I,   ,,   ,,   ,

Proof of Theorem ixpsnf1o

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpsnf1o.f	. 2
2		snex 4693	. . . 4
3		snex 4693	. . . 4
4	2, 3	xpex 6604	. . 3
5	4	a1i 11	. 2
6		vex 3112	. . . . 5
7	6	rnex 6734	. . . 4
8	7	uniex 6596	. . 3
9	8	a1i 11	. 2
10		sneq 4039	. . . . . 6
11	10	xpeq1d 5027	. . . . 5
12	11	eqeq2d 2471	. . . 4
13	12	anbi2d 703	. . 3
14		vex 3112	. . . . . 6
15		elixpsn 7528	. . . . . 6
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5
17	10	ixpeq1d 7501	. . . . . 6
18	17	eleq2d 2527	. . . . 5
19	16, 18	syl5bbr 259	. . . 4
20	19	anbi1d 704	. . 3
21		vex 3112	. . . . . . 7
22	14, 21	xpsn 6073	. . . . . 6
23	22	eqeq2i 2475	. . . . 5
24	23	anbi2i 694	. . . 4
25		eqid 2457	. . . . . . . . 9
26		opeq2 4218	. . . . . . . . . . . 12
27	26	sneqd 4041	. . . . . . . . . . 11
28	27	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . 10
29	28	rspcev 3210	. . . . . . . . 9
30	25, 29	mpan2 671	. . . . . . . 8
31	14, 21	op2nda 5498	. . . . . . . . 9
32	31	eqcomi 2470	. . . . . . . 8
33	30, 32	jctir 538	. . . . . . 7
34		eqeq1 2461	. . . . . . . . 9
35	34	rexbidv 2968	. . . . . . . 8
36		rneq 5233	. . . . . . . . . 10
37	36	unieqd 4259	. . . . . . . . 9
38	37	eqeq2d 2471	. . . . . . . 8
39	35, 38	anbi12d 710	. . . . . . 7
40	33, 39	syl5ibrcom 222	. . . . . 6
41	40	imp 429	. . . . 5
42		vex 3112	. . . . . . . . . . 11
43	14, 42	op2nda 5498	. . . . . . . . . 10
44	43	eqeq2i 2475	. . . . . . . . 9
45		eqidd 2458	. . . . . . . . . . 11
46	45	ancli 551	. . . . . . . . . 10
47		eleq1 2529	. . . . . . . . . . 11
48		opeq2 4218	. . . . . . . . . . . . 13
49	48	sneqd 4041	. . . . . . . . . . . 12
50	49	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . 11
51	47, 50	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10
52	46, 51	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . 9
53	44, 52	syl5bi 217	. . . . . . . 8
54		rneq 5233	. . . . . . . . . . 11
55	54	unieqd 4259	. . . . . . . . . 10
56	55	eqeq2d 2471	. . . . . . . . 9
57		eqeq1 2461	. . . . . . . . . 10
58	57	anbi2d 703	. . . . . . . . 9
59	56, 58	imbi12d 320	. . . . . . . 8
60	53, 59	syl5ibrcom 222	. . . . . . 7
61	60	rexlimiv 2943	. . . . . 6
62	61	imp 429	. . . . 5
63	41, 62	impbii 188	. . . 4
64	24, 63	bitri 249	. . 3
65	13, 20, 64	vtoclbg 3168	. 2
66	1, 5, 9, 65	f1od 6525	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  cvv 3109  {csn 4029  <.cop 4035  U.cuni 4249  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  rancrn 5005  -1-1-onto->wf1o 5592  X_cixp 7489

This theorem is referenced by:  mapsnf1o  7530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ixp 7490