Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ixpsnf1o.f |
⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( { 𝐼 } × { 𝑥 } ) ) |
2 |
|
snex |
⊢ { 𝐼 } ∈ V |
3 |
|
snex |
⊢ { 𝑥 } ∈ V |
4 |
2 3
|
xpex |
⊢ ( { 𝐼 } × { 𝑥 } ) ∈ V |
5 |
4
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( { 𝐼 } × { 𝑥 } ) ∈ V ) |
6 |
|
vex |
⊢ 𝑎 ∈ V |
7 |
6
|
rnex |
⊢ ran 𝑎 ∈ V |
8 |
7
|
uniex |
⊢ ∪ ran 𝑎 ∈ V |
9 |
8
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑎 ∈ X 𝑦 ∈ { 𝐼 } 𝐴 ) → ∪ ran 𝑎 ∈ V ) |
10 |
|
sneq |
⊢ ( 𝑏 = 𝐼 → { 𝑏 } = { 𝐼 } ) |
11 |
10
|
xpeq1d |
⊢ ( 𝑏 = 𝐼 → ( { 𝑏 } × { 𝑥 } ) = ( { 𝐼 } × { 𝑥 } ) ) |
12 |
11
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑏 = 𝐼 → ( 𝑎 = ( { 𝑏 } × { 𝑥 } ) ↔ 𝑎 = ( { 𝐼 } × { 𝑥 } ) ) ) |
13 |
12
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑏 = 𝐼 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 = ( { 𝑏 } × { 𝑥 } ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 = ( { 𝐼 } × { 𝑥 } ) ) ) ) |
14 |
|
elixpsn |
⊢ ( 𝑏 ∈ V → ( 𝑎 ∈ X 𝑦 ∈ { 𝑏 } 𝐴 ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝐴 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ) ) |
15 |
14
|
elv |
⊢ ( 𝑎 ∈ X 𝑦 ∈ { 𝑏 } 𝐴 ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝐴 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ) |
16 |
10
|
ixpeq1d |
⊢ ( 𝑏 = 𝐼 → X 𝑦 ∈ { 𝑏 } 𝐴 = X 𝑦 ∈ { 𝐼 } 𝐴 ) |
17 |
16
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑏 = 𝐼 → ( 𝑎 ∈ X 𝑦 ∈ { 𝑏 } 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ X 𝑦 ∈ { 𝐼 } 𝐴 ) ) |
18 |
15 17
|
bitr3id |
⊢ ( 𝑏 = 𝐼 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝐴 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ↔ 𝑎 ∈ X 𝑦 ∈ { 𝐼 } 𝐴 ) ) |
19 |
18
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑏 = 𝐼 → ( ( ∃ 𝑐 ∈ 𝐴 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ∧ 𝑥 = ∪ ran 𝑎 ) ↔ ( 𝑎 ∈ X 𝑦 ∈ { 𝐼 } 𝐴 ∧ 𝑥 = ∪ ran 𝑎 ) ) ) |
20 |
|
vex |
⊢ 𝑏 ∈ V |
21 |
|
vex |
⊢ 𝑥 ∈ V |
22 |
20 21
|
xpsn |
⊢ ( { 𝑏 } × { 𝑥 } ) = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } |
23 |
22
|
eqeq2i |
⊢ ( 𝑎 = ( { 𝑏 } × { 𝑥 } ) ↔ 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ) |
24 |
23
|
anbi2i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 = ( { 𝑏 } × { 𝑥 } ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ) ) |
25 |
|
eqid |
⊢ { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } |
26 |
|
opeq2 |
⊢ ( 𝑐 = 𝑥 → 〈 𝑏 , 𝑐 〉 = 〈 𝑏 , 𝑥 〉 ) |
27 |
26
|
sneqd |
⊢ ( 𝑐 = 𝑥 → { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ) |
28 |
27
|
rspceeqv |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ) → ∃ 𝑐 ∈ 𝐴 { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ) |
29 |
25 28
|
mpan2 |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ∃ 𝑐 ∈ 𝐴 { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ) |
30 |
20 21
|
op2nda |
⊢ ∪ ran { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } = 𝑥 |
31 |
30
|
eqcomi |
⊢ 𝑥 = ∪ ran { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } |
32 |
29 31
|
jctir |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝐴 { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ∧ 𝑥 = ∪ ran { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ) ) |
33 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } → ( 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ↔ { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ) ) |
34 |
33
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝐴 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝐴 { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ) ) |
35 |
|
rneq |
⊢ ( 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } → ran 𝑎 = ran { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ) |
36 |
35
|
unieqd |
⊢ ( 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } → ∪ ran 𝑎 = ∪ ran { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ) |
37 |
36
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } → ( 𝑥 = ∪ ran 𝑎 ↔ 𝑥 = ∪ ran { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ) ) |
38 |
34 37
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } → ( ( ∃ 𝑐 ∈ 𝐴 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ∧ 𝑥 = ∪ ran 𝑎 ) ↔ ( ∃ 𝑐 ∈ 𝐴 { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ∧ 𝑥 = ∪ ran { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ) ) ) |
39 |
32 38
|
syl5ibrcom |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ( 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝐴 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ∧ 𝑥 = ∪ ran 𝑎 ) ) ) |
40 |
39
|
imp |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ) → ( ∃ 𝑐 ∈ 𝐴 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ∧ 𝑥 = ∪ ran 𝑎 ) ) |
41 |
|
vex |
⊢ 𝑐 ∈ V |
42 |
20 41
|
op2nda |
⊢ ∪ ran { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } = 𝑐 |
43 |
42
|
eqeq2i |
⊢ ( 𝑥 = ∪ ran { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ↔ 𝑥 = 𝑐 ) |
44 |
|
eqidd |
⊢ ( 𝑐 ∈ 𝐴 → { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ) |
45 |
44
|
ancli |
⊢ ( 𝑐 ∈ 𝐴 → ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ) ) |
46 |
|
eleq1w |
⊢ ( 𝑥 = 𝑐 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑐 ∈ 𝐴 ) ) |
47 |
|
opeq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑐 → 〈 𝑏 , 𝑥 〉 = 〈 𝑏 , 𝑐 〉 ) |
48 |
47
|
sneqd |
⊢ ( 𝑥 = 𝑐 → { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ) |
49 |
48
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑐 → ( { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ↔ { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ) ) |
50 |
46 49
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑐 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ) ↔ ( 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ) ) ) |
51 |
45 50
|
syl5ibrcom |
⊢ ( 𝑐 ∈ 𝐴 → ( 𝑥 = 𝑐 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ) ) ) |
52 |
43 51
|
syl5bi |
⊢ ( 𝑐 ∈ 𝐴 → ( 𝑥 = ∪ ran { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ) ) ) |
53 |
|
rneq |
⊢ ( 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } → ran 𝑎 = ran { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ) |
54 |
53
|
unieqd |
⊢ ( 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } → ∪ ran 𝑎 = ∪ ran { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ) |
55 |
54
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } → ( 𝑥 = ∪ ran 𝑎 ↔ 𝑥 = ∪ ran { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ) ) |
56 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } → ( 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ↔ { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ) ) |
57 |
56
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ) ) ) |
58 |
55 57
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } → ( ( 𝑥 = ∪ ran 𝑎 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ) ) ↔ ( 𝑥 = ∪ ran { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ) ) ) ) |
59 |
52 58
|
syl5ibrcom |
⊢ ( 𝑐 ∈ 𝐴 → ( 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } → ( 𝑥 = ∪ ran 𝑎 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ) ) ) ) |
60 |
59
|
rexlimiv |
⊢ ( ∃ 𝑐 ∈ 𝐴 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } → ( 𝑥 = ∪ ran 𝑎 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ) ) ) |
61 |
60
|
imp |
⊢ ( ( ∃ 𝑐 ∈ 𝐴 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ∧ 𝑥 = ∪ ran 𝑎 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ) ) |
62 |
40 61
|
impbii |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑥 〉 } ) ↔ ( ∃ 𝑐 ∈ 𝐴 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ∧ 𝑥 = ∪ ran 𝑎 ) ) |
63 |
24 62
|
bitri |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 = ( { 𝑏 } × { 𝑥 } ) ) ↔ ( ∃ 𝑐 ∈ 𝐴 𝑎 = { 〈 𝑏 , 𝑐 〉 } ∧ 𝑥 = ∪ ran 𝑎 ) ) |
64 |
13 19 63
|
vtoclbg |
⊢ ( 𝐼 ∈ 𝑉 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 = ( { 𝐼 } × { 𝑥 } ) ) ↔ ( 𝑎 ∈ X 𝑦 ∈ { 𝐼 } 𝐴 ∧ 𝑥 = ∪ ran 𝑎 ) ) ) |
65 |
1 5 9 64
|
f1od |
⊢ ( 𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐹 : 𝐴 –1-1-onto→ X 𝑦 ∈ { 𝐼 } 𝐴 ) |