Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ixpsnf1o.f |
|- F = ( x e. A |-> ( { I } X. { x } ) ) |
2 |
|
snex |
|- { I } e. _V |
3 |
|
snex |
|- { x } e. _V |
4 |
2 3
|
xpex |
|- ( { I } X. { x } ) e. _V |
5 |
4
|
a1i |
|- ( ( I e. V /\ x e. A ) -> ( { I } X. { x } ) e. _V ) |
6 |
|
vex |
|- a e. _V |
7 |
6
|
rnex |
|- ran a e. _V |
8 |
7
|
uniex |
|- U. ran a e. _V |
9 |
8
|
a1i |
|- ( ( I e. V /\ a e. X_ y e. { I } A ) -> U. ran a e. _V ) |
10 |
|
sneq |
|- ( b = I -> { b } = { I } ) |
11 |
10
|
xpeq1d |
|- ( b = I -> ( { b } X. { x } ) = ( { I } X. { x } ) ) |
12 |
11
|
eqeq2d |
|- ( b = I -> ( a = ( { b } X. { x } ) <-> a = ( { I } X. { x } ) ) ) |
13 |
12
|
anbi2d |
|- ( b = I -> ( ( x e. A /\ a = ( { b } X. { x } ) ) <-> ( x e. A /\ a = ( { I } X. { x } ) ) ) ) |
14 |
|
elixpsn |
|- ( b e. _V -> ( a e. X_ y e. { b } A <-> E. c e. A a = { <. b , c >. } ) ) |
15 |
14
|
elv |
|- ( a e. X_ y e. { b } A <-> E. c e. A a = { <. b , c >. } ) |
16 |
10
|
ixpeq1d |
|- ( b = I -> X_ y e. { b } A = X_ y e. { I } A ) |
17 |
16
|
eleq2d |
|- ( b = I -> ( a e. X_ y e. { b } A <-> a e. X_ y e. { I } A ) ) |
18 |
15 17
|
bitr3id |
|- ( b = I -> ( E. c e. A a = { <. b , c >. } <-> a e. X_ y e. { I } A ) ) |
19 |
18
|
anbi1d |
|- ( b = I -> ( ( E. c e. A a = { <. b , c >. } /\ x = U. ran a ) <-> ( a e. X_ y e. { I } A /\ x = U. ran a ) ) ) |
20 |
|
vex |
|- b e. _V |
21 |
|
vex |
|- x e. _V |
22 |
20 21
|
xpsn |
|- ( { b } X. { x } ) = { <. b , x >. } |
23 |
22
|
eqeq2i |
|- ( a = ( { b } X. { x } ) <-> a = { <. b , x >. } ) |
24 |
23
|
anbi2i |
|- ( ( x e. A /\ a = ( { b } X. { x } ) ) <-> ( x e. A /\ a = { <. b , x >. } ) ) |
25 |
|
eqid |
|- { <. b , x >. } = { <. b , x >. } |
26 |
|
opeq2 |
|- ( c = x -> <. b , c >. = <. b , x >. ) |
27 |
26
|
sneqd |
|- ( c = x -> { <. b , c >. } = { <. b , x >. } ) |
28 |
27
|
rspceeqv |
|- ( ( x e. A /\ { <. b , x >. } = { <. b , x >. } ) -> E. c e. A { <. b , x >. } = { <. b , c >. } ) |
29 |
25 28
|
mpan2 |
|- ( x e. A -> E. c e. A { <. b , x >. } = { <. b , c >. } ) |
30 |
20 21
|
op2nda |
|- U. ran { <. b , x >. } = x |
31 |
30
|
eqcomi |
|- x = U. ran { <. b , x >. } |
32 |
29 31
|
jctir |
|- ( x e. A -> ( E. c e. A { <. b , x >. } = { <. b , c >. } /\ x = U. ran { <. b , x >. } ) ) |
33 |
|
eqeq1 |
|- ( a = { <. b , x >. } -> ( a = { <. b , c >. } <-> { <. b , x >. } = { <. b , c >. } ) ) |
34 |
33
|
rexbidv |
|- ( a = { <. b , x >. } -> ( E. c e. A a = { <. b , c >. } <-> E. c e. A { <. b , x >. } = { <. b , c >. } ) ) |
35 |
|
rneq |
|- ( a = { <. b , x >. } -> ran a = ran { <. b , x >. } ) |
36 |
35
|
unieqd |
|- ( a = { <. b , x >. } -> U. ran a = U. ran { <. b , x >. } ) |
37 |
36
|
eqeq2d |
|- ( a = { <. b , x >. } -> ( x = U. ran a <-> x = U. ran { <. b , x >. } ) ) |
38 |
34 37
|
anbi12d |
|- ( a = { <. b , x >. } -> ( ( E. c e. A a = { <. b , c >. } /\ x = U. ran a ) <-> ( E. c e. A { <. b , x >. } = { <. b , c >. } /\ x = U. ran { <. b , x >. } ) ) ) |
39 |
32 38
|
syl5ibrcom |
|- ( x e. A -> ( a = { <. b , x >. } -> ( E. c e. A a = { <. b , c >. } /\ x = U. ran a ) ) ) |
40 |
39
|
imp |
|- ( ( x e. A /\ a = { <. b , x >. } ) -> ( E. c e. A a = { <. b , c >. } /\ x = U. ran a ) ) |
41 |
|
vex |
|- c e. _V |
42 |
20 41
|
op2nda |
|- U. ran { <. b , c >. } = c |
43 |
42
|
eqeq2i |
|- ( x = U. ran { <. b , c >. } <-> x = c ) |
44 |
|
eqidd |
|- ( c e. A -> { <. b , c >. } = { <. b , c >. } ) |
45 |
44
|
ancli |
|- ( c e. A -> ( c e. A /\ { <. b , c >. } = { <. b , c >. } ) ) |
46 |
|
eleq1w |
|- ( x = c -> ( x e. A <-> c e. A ) ) |
47 |
|
opeq2 |
|- ( x = c -> <. b , x >. = <. b , c >. ) |
48 |
47
|
sneqd |
|- ( x = c -> { <. b , x >. } = { <. b , c >. } ) |
49 |
48
|
eqeq2d |
|- ( x = c -> ( { <. b , c >. } = { <. b , x >. } <-> { <. b , c >. } = { <. b , c >. } ) ) |
50 |
46 49
|
anbi12d |
|- ( x = c -> ( ( x e. A /\ { <. b , c >. } = { <. b , x >. } ) <-> ( c e. A /\ { <. b , c >. } = { <. b , c >. } ) ) ) |
51 |
45 50
|
syl5ibrcom |
|- ( c e. A -> ( x = c -> ( x e. A /\ { <. b , c >. } = { <. b , x >. } ) ) ) |
52 |
43 51
|
syl5bi |
|- ( c e. A -> ( x = U. ran { <. b , c >. } -> ( x e. A /\ { <. b , c >. } = { <. b , x >. } ) ) ) |
53 |
|
rneq |
|- ( a = { <. b , c >. } -> ran a = ran { <. b , c >. } ) |
54 |
53
|
unieqd |
|- ( a = { <. b , c >. } -> U. ran a = U. ran { <. b , c >. } ) |
55 |
54
|
eqeq2d |
|- ( a = { <. b , c >. } -> ( x = U. ran a <-> x = U. ran { <. b , c >. } ) ) |
56 |
|
eqeq1 |
|- ( a = { <. b , c >. } -> ( a = { <. b , x >. } <-> { <. b , c >. } = { <. b , x >. } ) ) |
57 |
56
|
anbi2d |
|- ( a = { <. b , c >. } -> ( ( x e. A /\ a = { <. b , x >. } ) <-> ( x e. A /\ { <. b , c >. } = { <. b , x >. } ) ) ) |
58 |
55 57
|
imbi12d |
|- ( a = { <. b , c >. } -> ( ( x = U. ran a -> ( x e. A /\ a = { <. b , x >. } ) ) <-> ( x = U. ran { <. b , c >. } -> ( x e. A /\ { <. b , c >. } = { <. b , x >. } ) ) ) ) |
59 |
52 58
|
syl5ibrcom |
|- ( c e. A -> ( a = { <. b , c >. } -> ( x = U. ran a -> ( x e. A /\ a = { <. b , x >. } ) ) ) ) |
60 |
59
|
rexlimiv |
|- ( E. c e. A a = { <. b , c >. } -> ( x = U. ran a -> ( x e. A /\ a = { <. b , x >. } ) ) ) |
61 |
60
|
imp |
|- ( ( E. c e. A a = { <. b , c >. } /\ x = U. ran a ) -> ( x e. A /\ a = { <. b , x >. } ) ) |
62 |
40 61
|
impbii |
|- ( ( x e. A /\ a = { <. b , x >. } ) <-> ( E. c e. A a = { <. b , c >. } /\ x = U. ran a ) ) |
63 |
24 62
|
bitri |
|- ( ( x e. A /\ a = ( { b } X. { x } ) ) <-> ( E. c e. A a = { <. b , c >. } /\ x = U. ran a ) ) |
64 |
13 19 63
|
vtoclbg |
|- ( I e. V -> ( ( x e. A /\ a = ( { I } X. { x } ) ) <-> ( a e. X_ y e. { I } A /\ x = U. ran a ) ) ) |
65 |
1 5 9 64
|
f1od |
|- ( I e. V -> F : A -1-1-onto-> X_ y e. { I } A ) |