Metamath Proof Explorer

Theorem 1to3vfriswmgr

Description: Every friendship graph with one, two or three vertices is a windmill graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2017) (Revised by AV, 31-Mar-2021)

Ref Expression
Hypotheses 3vfriswmgr.v 
|- V = ( Vtx ` G )
3vfriswmgr.e 
|- E = ( Edg ` G )
Assertion 1to3vfriswmgr 
|- ( ( A e. X /\ ( V = { A } \/ V = { A , B } \/ V = { A , B , C } ) ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 3vfriswmgr.v 
 |-  V = ( Vtx ` G )
2 3vfriswmgr.e 
 |-  E = ( Edg ` G )
3 df-3or 
 |-  ( ( V = { A } \/ V = { A , B } \/ V = { A , B , C } ) <-> ( ( V = { A } \/ V = { A , B } ) \/ V = { A , B , C } ) )
4 1 2 1to2vfriswmgr 
 |-  ( ( A e. X /\ ( V = { A } \/ V = { A , B } ) ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
5 4 expcom 
 |-  ( ( V = { A } \/ V = { A , B } ) -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) )
6 tppreq3 
 |-  ( B = C -> { A , B , C } = { A , B } )
7 6 eqeq2d 
 |-  ( B = C -> ( V = { A , B , C } <-> V = { A , B } ) )
8 olc 
 |-  ( V = { A , B } -> ( V = { A } \/ V = { A , B } ) )
9 8 anim1ci 
 |-  ( ( V = { A , B } /\ A e. X ) -> ( A e. X /\ ( V = { A } \/ V = { A , B } ) ) )
10 9 4 syl 
 |-  ( ( V = { A , B } /\ A e. X ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
11 10 ex 
 |-  ( V = { A , B } -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) )
12 7 11 biimtrdi 
 |-  ( B = C -> ( V = { A , B , C } -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) ) )
13 tpprceq3 
 |-  ( -. ( B e. _V /\ B =/= A ) -> { C , A , B } = { C , A } )
14 tprot 
 |-  { C , A , B } = { A , B , C }
15 14 eqeq1i 
 |-  ( { C , A , B } = { C , A } <-> { A , B , C } = { C , A } )
16 15 biimpi 
 |-  ( { C , A , B } = { C , A } -> { A , B , C } = { C , A } )
17 prcom 
 |-  { C , A } = { A , C }
18 16 17 eqtrdi 
 |-  ( { C , A , B } = { C , A } -> { A , B , C } = { A , C } )
19 18 eqeq2d 
 |-  ( { C , A , B } = { C , A } -> ( V = { A , B , C } <-> V = { A , C } ) )
20 olc 
 |-  ( V = { A , C } -> ( V = { A } \/ V = { A , C } ) )
21 1 2 1to2vfriswmgr 
 |-  ( ( A e. X /\ ( V = { A } \/ V = { A , C } ) ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
22 20 21 sylan2 
 |-  ( ( A e. X /\ V = { A , C } ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
23 22 expcom 
 |-  ( V = { A , C } -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) )
24 19 23 biimtrdi 
 |-  ( { C , A , B } = { C , A } -> ( V = { A , B , C } -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) ) )
25 13 24 syl 
 |-  ( -. ( B e. _V /\ B =/= A ) -> ( V = { A , B , C } -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) ) )
26 25 a1d 
 |-  ( -. ( B e. _V /\ B =/= A ) -> ( B =/= C -> ( V = { A , B , C } -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) ) ) )
27 tpprceq3 
 |-  ( -. ( C e. _V /\ C =/= A ) -> { B , A , C } = { B , A } )
28 tpcoma 
 |-  { B , A , C } = { A , B , C }
29 28 eqeq1i 
 |-  ( { B , A , C } = { B , A } <-> { A , B , C } = { B , A } )
30 29 biimpi 
 |-  ( { B , A , C } = { B , A } -> { A , B , C } = { B , A } )
31 prcom 
 |-  { B , A } = { A , B }
32 30 31 eqtrdi 
 |-  ( { B , A , C } = { B , A } -> { A , B , C } = { A , B } )
33 32 eqeq2d 
 |-  ( { B , A , C } = { B , A } -> ( V = { A , B , C } <-> V = { A , B } ) )
34 8 4 sylan2 
 |-  ( ( A e. X /\ V = { A , B } ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
35 34 expcom 
 |-  ( V = { A , B } -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) )
36 35 a1d 
 |-  ( V = { A , B } -> ( B =/= C -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) ) )
37 33 36 biimtrdi 
 |-  ( { B , A , C } = { B , A } -> ( V = { A , B , C } -> ( B =/= C -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) ) ) )
38 27 37 syl 
 |-  ( -. ( C e. _V /\ C =/= A ) -> ( V = { A , B , C } -> ( B =/= C -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) ) ) )
39 38 com23 
 |-  ( -. ( C e. _V /\ C =/= A ) -> ( B =/= C -> ( V = { A , B , C } -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) ) ) )
40 simpl 
 |-  ( ( B e. _V /\ B =/= A ) -> B e. _V )
41 simpl 
 |-  ( ( C e. _V /\ C =/= A ) -> C e. _V )
42 40 41 anim12i 
 |-  ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) -> ( B e. _V /\ C e. _V ) )
43 42 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) -> ( B e. _V /\ C e. _V ) )
44 43 anim1ci 
 |-  ( ( ( ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ A e. X ) -> ( A e. X /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) )
45 3anass 
 |-  ( ( A e. X /\ B e. _V /\ C e. _V ) <-> ( A e. X /\ ( B e. _V /\ C e. _V ) ) )
46 44 45 sylibr 
 |-  ( ( ( ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ A e. X ) -> ( A e. X /\ B e. _V /\ C e. _V ) )
47 simpr 
 |-  ( ( B e. _V /\ B =/= A ) -> B =/= A )
48 47 necomd 
 |-  ( ( B e. _V /\ B =/= A ) -> A =/= B )
49 simpr 
 |-  ( ( C e. _V /\ C =/= A ) -> C =/= A )
50 49 necomd 
 |-  ( ( C e. _V /\ C =/= A ) -> A =/= C )
51 48 50 anim12i 
 |-  ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) -> ( A =/= B /\ A =/= C ) )
52 51 anim1i 
 |-  ( ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) /\ B =/= C ) -> ( ( A =/= B /\ A =/= C ) /\ B =/= C ) )
53 df-3an 
 |-  ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) <-> ( ( A =/= B /\ A =/= C ) /\ B =/= C ) )
54 52 53 sylibr 
 |-  ( ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) /\ B =/= C ) -> ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) )
55 54 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ A e. X ) -> ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) )
56 simplr 
 |-  ( ( ( ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ A e. X ) -> V = { A , B , C } )
57 1 2 3vfriswmgr 
 |-  ( ( ( A e. X /\ B e. _V /\ C e. _V ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
58 46 55 56 57 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) /\ B =/= C ) /\ V = { A , B , C } ) /\ A e. X ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )
59 58 exp41 
 |-  ( ( ( B e. _V /\ B =/= A ) /\ ( C e. _V /\ C =/= A ) ) -> ( B =/= C -> ( V = { A , B , C } -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) ) ) )
60 26 39 59 ecase 
 |-  ( B =/= C -> ( V = { A , B , C } -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) ) )
61 12 60 pm2.61ine 
 |-  ( V = { A , B , C } -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) )
62 5 61 jaoi 
 |-  ( ( ( V = { A } \/ V = { A , B } ) \/ V = { A , B , C } ) -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) )
63 3 62 sylbi 
 |-  ( ( V = { A } \/ V = { A , B } \/ V = { A , B , C } ) -> ( A e. X -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) ) )
64 63 impcom 
 |-  ( ( A e. X /\ ( V = { A } \/ V = { A , B } \/ V = { A , B , C } ) ) -> ( G e. FriendGraph -> E. h e. V A. v e. ( V \ { h } ) ( { v , h } e. E /\ E! w e. ( V \ { h } ) { v , w } e. E ) ) )