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Theorem addmodlteqALT

Description: Two nonnegative integers less than the modulus are equal iff the sums of these integer with another integer are equal modulo the modulus. Shorter proof of addmodlteq based on the "divides" relation. (Contributed by AV, 14-Mar-2021) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Ref Expression
Assertion addmodlteqALT 
|- ( ( I e. ( 0 ..^ N ) /\ J e. ( 0 ..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> ( ( ( I + S ) mod N ) = ( ( J + S ) mod N ) <-> I = J ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elfzo0 
 |-  ( I e. ( 0 ..^ N ) <-> ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) )
2 elfzoelz 
 |-  ( J e. ( 0 ..^ N ) -> J e. ZZ )
3 simplrr 
 |-  ( ( ( J e. ZZ /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) /\ S e. ZZ ) -> N e. NN )
4 nn0z 
 |-  ( I e. NN0 -> I e. ZZ )
5 4 ad2antrl 
 |-  ( ( J e. ZZ /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) -> I e. ZZ )
6 zaddcl 
 |-  ( ( I e. ZZ /\ S e. ZZ ) -> ( I + S ) e. ZZ )
7 5 6 sylan 
 |-  ( ( ( J e. ZZ /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) /\ S e. ZZ ) -> ( I + S ) e. ZZ )
8 zaddcl 
 |-  ( ( J e. ZZ /\ S e. ZZ ) -> ( J + S ) e. ZZ )
9 8 adantlr 
 |-  ( ( ( J e. ZZ /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) /\ S e. ZZ ) -> ( J + S ) e. ZZ )
10 3 7 9 3jca 
 |-  ( ( ( J e. ZZ /\ ( I e. NN0 /\ N e. NN ) ) /\ S e. ZZ ) -> ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) )
11 10 exp31 
 |-  ( J e. ZZ -> ( ( I e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( S e. ZZ -> ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) ) ) )
12 2 11 syl 
 |-  ( J e. ( 0 ..^ N ) -> ( ( I e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( S e. ZZ -> ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) ) ) )
13 12 com12 
 |-  ( ( I e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( J e. ( 0 ..^ N ) -> ( S e. ZZ -> ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) ) ) )
14 13 3adant3 
 |-  ( ( I e. NN0 /\ N e. NN /\ I < N ) -> ( J e. ( 0 ..^ N ) -> ( S e. ZZ -> ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) ) ) )
15 1 14 sylbi 
 |-  ( I e. ( 0 ..^ N ) -> ( J e. ( 0 ..^ N ) -> ( S e. ZZ -> ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) ) ) )
16 15 3imp 
 |-  ( ( I e. ( 0 ..^ N ) /\ J e. ( 0 ..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) )
17 moddvds 
 |-  ( ( N e. NN /\ ( I + S ) e. ZZ /\ ( J + S ) e. ZZ ) -> ( ( ( I + S ) mod N ) = ( ( J + S ) mod N ) <-> N || ( ( I + S ) - ( J + S ) ) ) )
18 16 17 syl 
 |-  ( ( I e. ( 0 ..^ N ) /\ J e. ( 0 ..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> ( ( ( I + S ) mod N ) = ( ( J + S ) mod N ) <-> N || ( ( I + S ) - ( J + S ) ) ) )
19 elfzoel2 
 |-  ( I e. ( 0 ..^ N ) -> N e. ZZ )
20 zcn 
 |-  ( N e. ZZ -> N e. CC )
21 20 subid1d 
 |-  ( N e. ZZ -> ( N - 0 ) = N )
22 21 eqcomd 
 |-  ( N e. ZZ -> N = ( N - 0 ) )
23 19 22 syl 
 |-  ( I e. ( 0 ..^ N ) -> N = ( N - 0 ) )
24 23 3ad2ant1 
 |-  ( ( I e. ( 0 ..^ N ) /\ J e. ( 0 ..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> N = ( N - 0 ) )
25 elfzoelz 
 |-  ( I e. ( 0 ..^ N ) -> I e. ZZ )
26 25 zcnd 
 |-  ( I e. ( 0 ..^ N ) -> I e. CC )
27 2 zcnd 
 |-  ( J e. ( 0 ..^ N ) -> J e. CC )
28 zcn 
 |-  ( S e. ZZ -> S e. CC )
29 pnpcan2 
 |-  ( ( I e. CC /\ J e. CC /\ S e. CC ) -> ( ( I + S ) - ( J + S ) ) = ( I - J ) )
30 26 27 28 29 syl3an 
 |-  ( ( I e. ( 0 ..^ N ) /\ J e. ( 0 ..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> ( ( I + S ) - ( J + S ) ) = ( I - J ) )
31 24 30 breq12d 
 |-  ( ( I e. ( 0 ..^ N ) /\ J e. ( 0 ..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> ( N || ( ( I + S ) - ( J + S ) ) <-> ( N - 0 ) || ( I - J ) ) )
32 fzocongeq 
 |-  ( ( I e. ( 0 ..^ N ) /\ J e. ( 0 ..^ N ) ) -> ( ( N - 0 ) || ( I - J ) <-> I = J ) )
33 32 3adant3 
 |-  ( ( I e. ( 0 ..^ N ) /\ J e. ( 0 ..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> ( ( N - 0 ) || ( I - J ) <-> I = J ) )
34 18 31 33 3bitrd 
 |-  ( ( I e. ( 0 ..^ N ) /\ J e. ( 0 ..^ N ) /\ S e. ZZ ) -> ( ( ( I + S ) mod N ) = ( ( J + S ) mod N ) <-> I = J ) )