Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
2 |
1 1
|
axlowdimlem5 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) e. ( EE ` N ) ) |
3 |
|
1re |
|- 1 e. RR |
4 |
3 1
|
axlowdimlem5 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) e. ( EE ` N ) ) |
5 |
1 3
|
axlowdimlem5 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) e. ( EE ` N ) ) |
6 |
|
eqid |
|- ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) |
7 |
|
eqid |
|- ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) = ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) |
8 |
|
eqid |
|- ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) |
9 |
6 7 8
|
axlowdimlem6 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> -. ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) ) |
10 |
|
opeq2 |
|- ( z = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , z >. = <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) |
11 |
10
|
breq2d |
|- ( z = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , z >. <-> ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) ) |
12 |
|
opeq1 |
|- ( z = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> <. z , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. = <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) |
13 |
12
|
breq2d |
|- ( z = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. z , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. <-> ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) ) |
14 |
|
breq1 |
|- ( z = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> ( z Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. <-> ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) ) |
15 |
11 13 14
|
3orbi123d |
|- ( z = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , z >. \/ ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. z , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ z Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) <-> ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) ) ) |
16 |
15
|
notbid |
|- ( z = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> ( -. ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , z >. \/ ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. z , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ z Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) <-> -. ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) ) ) |
17 |
16
|
rspcev |
|- ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) e. ( EE ` N ) /\ -. ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) ) -> E. z e. ( EE ` N ) -. ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , z >. \/ ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. z , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ z Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) ) |
18 |
5 9 17
|
syl2anc |
|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. z e. ( EE ` N ) -. ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , z >. \/ ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. z , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ z Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) ) |
19 |
|
breq1 |
|- ( x = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> ( x Btwn <. y , z >. <-> ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. y , z >. ) ) |
20 |
|
opeq2 |
|- ( x = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> <. z , x >. = <. z , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) |
21 |
20
|
breq2d |
|- ( x = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> ( y Btwn <. z , x >. <-> y Btwn <. z , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) ) |
22 |
|
opeq1 |
|- ( x = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> <. x , y >. = <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , y >. ) |
23 |
22
|
breq2d |
|- ( x = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> ( z Btwn <. x , y >. <-> z Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , y >. ) ) |
24 |
19 21 23
|
3orbi123d |
|- ( x = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> ( ( x Btwn <. y , z >. \/ y Btwn <. z , x >. \/ z Btwn <. x , y >. ) <-> ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. y , z >. \/ y Btwn <. z , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ z Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , y >. ) ) ) |
25 |
24
|
notbid |
|- ( x = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> ( -. ( x Btwn <. y , z >. \/ y Btwn <. z , x >. \/ z Btwn <. x , y >. ) <-> -. ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. y , z >. \/ y Btwn <. z , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ z Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , y >. ) ) ) |
26 |
25
|
rexbidv |
|- ( x = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> ( E. z e. ( EE ` N ) -. ( x Btwn <. y , z >. \/ y Btwn <. z , x >. \/ z Btwn <. x , y >. ) <-> E. z e. ( EE ` N ) -. ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. y , z >. \/ y Btwn <. z , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ z Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , y >. ) ) ) |
27 |
|
opeq1 |
|- ( y = ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> <. y , z >. = <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , z >. ) |
28 |
27
|
breq2d |
|- ( y = ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. y , z >. <-> ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , z >. ) ) |
29 |
|
breq1 |
|- ( y = ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> ( y Btwn <. z , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. <-> ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. z , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) ) |
30 |
|
opeq2 |
|- ( y = ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , y >. = <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) |
31 |
30
|
breq2d |
|- ( y = ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> ( z Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , y >. <-> z Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) ) |
32 |
28 29 31
|
3orbi123d |
|- ( y = ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. y , z >. \/ y Btwn <. z , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ z Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , y >. ) <-> ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , z >. \/ ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. z , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ z Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) ) ) |
33 |
32
|
notbid |
|- ( y = ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> ( -. ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. y , z >. \/ y Btwn <. z , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ z Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , y >. ) <-> -. ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , z >. \/ ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. z , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ z Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) ) ) |
34 |
33
|
rexbidv |
|- ( y = ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) -> ( E. z e. ( EE ` N ) -. ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. y , z >. \/ y Btwn <. z , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ z Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , y >. ) <-> E. z e. ( EE ` N ) -. ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , z >. \/ ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. z , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ z Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) ) ) |
35 |
26 34
|
rspc2ev |
|- ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) e. ( EE ` N ) /\ ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) e. ( EE ` N ) /\ E. z e. ( EE ` N ) -. ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , z >. \/ ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. z , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ z Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. z e. ( EE ` N ) -. ( x Btwn <. y , z >. \/ y Btwn <. z , x >. \/ z Btwn <. x , y >. ) ) |
36 |
2 4 18 35
|
syl3anc |
|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. x e. ( EE ` N ) E. y e. ( EE ` N ) E. z e. ( EE ` N ) -. ( x Btwn <. y , z >. \/ y Btwn <. z , x >. \/ z Btwn <. x , y >. ) ) |