Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-bl |
|- ball = ( d e. _V |-> ( x e. dom dom d , r e. RR* |-> { y e. dom dom d | ( x d y ) < r } ) ) |
2 |
|
dmeq |
|- ( d = D -> dom d = dom D ) |
3 |
2
|
dmeqd |
|- ( d = D -> dom dom d = dom dom D ) |
4 |
|
psmetdmdm |
|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> X = dom dom D ) |
5 |
4
|
eqcomd |
|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> dom dom D = X ) |
6 |
3 5
|
sylan9eqr |
|- ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ d = D ) -> dom dom d = X ) |
7 |
|
eqidd |
|- ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ d = D ) -> RR* = RR* ) |
8 |
|
simpr |
|- ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ d = D ) -> d = D ) |
9 |
8
|
oveqd |
|- ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ d = D ) -> ( x d y ) = ( x D y ) ) |
10 |
9
|
breq1d |
|- ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ d = D ) -> ( ( x d y ) < r <-> ( x D y ) < r ) ) |
11 |
6 10
|
rabeqbidv |
|- ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ d = D ) -> { y e. dom dom d | ( x d y ) < r } = { y e. X | ( x D y ) < r } ) |
12 |
6 7 11
|
mpoeq123dv |
|- ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ d = D ) -> ( x e. dom dom d , r e. RR* |-> { y e. dom dom d | ( x d y ) < r } ) = ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) ) |
13 |
|
elex |
|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> D e. _V ) |
14 |
|
ssrab2 |
|- { y e. X | ( x D y ) < r } C_ X |
15 |
|
elfvdm |
|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> X e. dom PsMet ) |
16 |
15
|
adantr |
|- ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ ( x e. X /\ r e. RR* ) ) -> X e. dom PsMet ) |
17 |
|
elpw2g |
|- ( X e. dom PsMet -> ( { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X <-> { y e. X | ( x D y ) < r } C_ X ) ) |
18 |
16 17
|
syl |
|- ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ ( x e. X /\ r e. RR* ) ) -> ( { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X <-> { y e. X | ( x D y ) < r } C_ X ) ) |
19 |
14 18
|
mpbiri |
|- ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ ( x e. X /\ r e. RR* ) ) -> { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X ) |
20 |
19
|
ralrimivva |
|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> A. x e. X A. r e. RR* { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X ) |
21 |
|
eqid |
|- ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) = ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) |
22 |
21
|
fmpo |
|- ( A. x e. X A. r e. RR* { y e. X | ( x D y ) < r } e. ~P X <-> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) : ( X X. RR* ) --> ~P X ) |
23 |
20 22
|
sylib |
|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) : ( X X. RR* ) --> ~P X ) |
24 |
|
xrex |
|- RR* e. _V |
25 |
|
xpexg |
|- ( ( X e. dom PsMet /\ RR* e. _V ) -> ( X X. RR* ) e. _V ) |
26 |
15 24 25
|
sylancl |
|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> ( X X. RR* ) e. _V ) |
27 |
15
|
pwexd |
|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> ~P X e. _V ) |
28 |
|
fex2 |
|- ( ( ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) : ( X X. RR* ) --> ~P X /\ ( X X. RR* ) e. _V /\ ~P X e. _V ) -> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) e. _V ) |
29 |
23 26 27 28
|
syl3anc |
|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) e. _V ) |
30 |
1 12 13 29
|
fvmptd2 |
|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> ( ball ` D ) = ( x e. X , r e. RR* |-> { y e. X | ( x D y ) < r } ) ) |