Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
brecop.1 |
|- .~ e. _V |
2 |
|
brecop.2 |
|- .~ Er ( G X. G ) |
3 |
|
brecop.4 |
|- H = ( ( G X. G ) /. .~ ) |
4 |
|
brecop.5 |
|- .<_ = { <. x , y >. | ( ( x e. H /\ y e. H ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = [ <. z , w >. ] .~ /\ y = [ <. v , u >. ] .~ ) /\ ph ) ) } |
5 |
|
brecop.6 |
|- ( ( ( ( z e. G /\ w e. G ) /\ ( A e. G /\ B e. G ) ) /\ ( ( v e. G /\ u e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] .~ = [ <. A , B >. ] .~ /\ [ <. v , u >. ] .~ = [ <. C , D >. ] .~ ) -> ( ph <-> ps ) ) ) |
6 |
1 3
|
ecopqsi |
|- ( ( A e. G /\ B e. G ) -> [ <. A , B >. ] .~ e. H ) |
7 |
1 3
|
ecopqsi |
|- ( ( C e. G /\ D e. G ) -> [ <. C , D >. ] .~ e. H ) |
8 |
|
df-br |
|- ( [ <. A , B >. ] .~ .<_ [ <. C , D >. ] .~ <-> <. [ <. A , B >. ] .~ , [ <. C , D >. ] .~ >. e. .<_ ) |
9 |
4
|
eleq2i |
|- ( <. [ <. A , B >. ] .~ , [ <. C , D >. ] .~ >. e. .<_ <-> <. [ <. A , B >. ] .~ , [ <. C , D >. ] .~ >. e. { <. x , y >. | ( ( x e. H /\ y e. H ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = [ <. z , w >. ] .~ /\ y = [ <. v , u >. ] .~ ) /\ ph ) ) } ) |
10 |
8 9
|
bitri |
|- ( [ <. A , B >. ] .~ .<_ [ <. C , D >. ] .~ <-> <. [ <. A , B >. ] .~ , [ <. C , D >. ] .~ >. e. { <. x , y >. | ( ( x e. H /\ y e. H ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = [ <. z , w >. ] .~ /\ y = [ <. v , u >. ] .~ ) /\ ph ) ) } ) |
11 |
|
eqeq1 |
|- ( x = [ <. A , B >. ] .~ -> ( x = [ <. z , w >. ] .~ <-> [ <. A , B >. ] .~ = [ <. z , w >. ] .~ ) ) |
12 |
11
|
anbi1d |
|- ( x = [ <. A , B >. ] .~ -> ( ( x = [ <. z , w >. ] .~ /\ y = [ <. v , u >. ] .~ ) <-> ( [ <. A , B >. ] .~ = [ <. z , w >. ] .~ /\ y = [ <. v , u >. ] .~ ) ) ) |
13 |
12
|
anbi1d |
|- ( x = [ <. A , B >. ] .~ -> ( ( ( x = [ <. z , w >. ] .~ /\ y = [ <. v , u >. ] .~ ) /\ ph ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] .~ = [ <. z , w >. ] .~ /\ y = [ <. v , u >. ] .~ ) /\ ph ) ) ) |
14 |
13
|
4exbidv |
|- ( x = [ <. A , B >. ] .~ -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( x = [ <. z , w >. ] .~ /\ y = [ <. v , u >. ] .~ ) /\ ph ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( [ <. A , B >. ] .~ = [ <. z , w >. ] .~ /\ y = [ <. v , u >. ] .~ ) /\ ph ) ) ) |
15 |
|
eqeq1 |
|- ( y = [ <. C , D >. ] .~ -> ( y = [ <. v , u >. ] .~ <-> [ <. C , D >. ] .~ = [ <. v , u >. ] .~ ) ) |
16 |
15
|
anbi2d |
|- ( y = [ <. C , D >. ] .~ -> ( ( [ <. A , B >. ] .~ = [ <. z , w >. ] .~ /\ y = [ <. v , u >. ] .~ ) <-> ( [ <. A , B >. ] .~ = [ <. z , w >. ] .~ /\ [ <. C , D >. ] .~ = [ <. v , u >. ] .~ ) ) ) |
17 |
16
|
anbi1d |
|- ( y = [ <. C , D >. ] .~ -> ( ( ( [ <. A , B >. ] .~ = [ <. z , w >. ] .~ /\ y = [ <. v , u >. ] .~ ) /\ ph ) <-> ( ( [ <. A , B >. ] .~ = [ <. z , w >. ] .~ /\ [ <. C , D >. ] .~ = [ <. v , u >. ] .~ ) /\ ph ) ) ) |
18 |
17
|
4exbidv |
|- ( y = [ <. C , D >. ] .~ -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( [ <. A , B >. ] .~ = [ <. z , w >. ] .~ /\ y = [ <. v , u >. ] .~ ) /\ ph ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( [ <. A , B >. ] .~ = [ <. z , w >. ] .~ /\ [ <. C , D >. ] .~ = [ <. v , u >. ] .~ ) /\ ph ) ) ) |
19 |
14 18
|
opelopab2 |
|- ( ( [ <. A , B >. ] .~ e. H /\ [ <. C , D >. ] .~ e. H ) -> ( <. [ <. A , B >. ] .~ , [ <. C , D >. ] .~ >. e. { <. x , y >. | ( ( x e. H /\ y e. H ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = [ <. z , w >. ] .~ /\ y = [ <. v , u >. ] .~ ) /\ ph ) ) } <-> E. z E. w E. v E. u ( ( [ <. A , B >. ] .~ = [ <. z , w >. ] .~ /\ [ <. C , D >. ] .~ = [ <. v , u >. ] .~ ) /\ ph ) ) ) |
20 |
10 19
|
syl5bb |
|- ( ( [ <. A , B >. ] .~ e. H /\ [ <. C , D >. ] .~ e. H ) -> ( [ <. A , B >. ] .~ .<_ [ <. C , D >. ] .~ <-> E. z E. w E. v E. u ( ( [ <. A , B >. ] .~ = [ <. z , w >. ] .~ /\ [ <. C , D >. ] .~ = [ <. v , u >. ] .~ ) /\ ph ) ) ) |
21 |
6 7 20
|
syl2an |
|- ( ( ( A e. G /\ B e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) -> ( [ <. A , B >. ] .~ .<_ [ <. C , D >. ] .~ <-> E. z E. w E. v E. u ( ( [ <. A , B >. ] .~ = [ <. z , w >. ] .~ /\ [ <. C , D >. ] .~ = [ <. v , u >. ] .~ ) /\ ph ) ) ) |
22 |
|
opeq12 |
|- ( ( z = A /\ w = B ) -> <. z , w >. = <. A , B >. ) |
23 |
22
|
eceq1d |
|- ( ( z = A /\ w = B ) -> [ <. z , w >. ] .~ = [ <. A , B >. ] .~ ) |
24 |
|
opeq12 |
|- ( ( v = C /\ u = D ) -> <. v , u >. = <. C , D >. ) |
25 |
24
|
eceq1d |
|- ( ( v = C /\ u = D ) -> [ <. v , u >. ] .~ = [ <. C , D >. ] .~ ) |
26 |
23 25
|
anim12i |
|- ( ( ( z = A /\ w = B ) /\ ( v = C /\ u = D ) ) -> ( [ <. z , w >. ] .~ = [ <. A , B >. ] .~ /\ [ <. v , u >. ] .~ = [ <. C , D >. ] .~ ) ) |
27 |
|
opelxpi |
|- ( ( A e. G /\ B e. G ) -> <. A , B >. e. ( G X. G ) ) |
28 |
|
opelxp |
|- ( <. z , w >. e. ( G X. G ) <-> ( z e. G /\ w e. G ) ) |
29 |
2
|
a1i |
|- ( [ <. z , w >. ] .~ = [ <. A , B >. ] .~ -> .~ Er ( G X. G ) ) |
30 |
|
id |
|- ( [ <. z , w >. ] .~ = [ <. A , B >. ] .~ -> [ <. z , w >. ] .~ = [ <. A , B >. ] .~ ) |
31 |
29 30
|
ereldm |
|- ( [ <. z , w >. ] .~ = [ <. A , B >. ] .~ -> ( <. z , w >. e. ( G X. G ) <-> <. A , B >. e. ( G X. G ) ) ) |
32 |
28 31
|
bitr3id |
|- ( [ <. z , w >. ] .~ = [ <. A , B >. ] .~ -> ( ( z e. G /\ w e. G ) <-> <. A , B >. e. ( G X. G ) ) ) |
33 |
27 32
|
syl5ibr |
|- ( [ <. z , w >. ] .~ = [ <. A , B >. ] .~ -> ( ( A e. G /\ B e. G ) -> ( z e. G /\ w e. G ) ) ) |
34 |
|
opelxpi |
|- ( ( C e. G /\ D e. G ) -> <. C , D >. e. ( G X. G ) ) |
35 |
|
opelxp |
|- ( <. v , u >. e. ( G X. G ) <-> ( v e. G /\ u e. G ) ) |
36 |
2
|
a1i |
|- ( [ <. v , u >. ] .~ = [ <. C , D >. ] .~ -> .~ Er ( G X. G ) ) |
37 |
|
id |
|- ( [ <. v , u >. ] .~ = [ <. C , D >. ] .~ -> [ <. v , u >. ] .~ = [ <. C , D >. ] .~ ) |
38 |
36 37
|
ereldm |
|- ( [ <. v , u >. ] .~ = [ <. C , D >. ] .~ -> ( <. v , u >. e. ( G X. G ) <-> <. C , D >. e. ( G X. G ) ) ) |
39 |
35 38
|
bitr3id |
|- ( [ <. v , u >. ] .~ = [ <. C , D >. ] .~ -> ( ( v e. G /\ u e. G ) <-> <. C , D >. e. ( G X. G ) ) ) |
40 |
34 39
|
syl5ibr |
|- ( [ <. v , u >. ] .~ = [ <. C , D >. ] .~ -> ( ( C e. G /\ D e. G ) -> ( v e. G /\ u e. G ) ) ) |
41 |
33 40
|
im2anan9 |
|- ( ( [ <. z , w >. ] .~ = [ <. A , B >. ] .~ /\ [ <. v , u >. ] .~ = [ <. C , D >. ] .~ ) -> ( ( ( A e. G /\ B e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) -> ( ( z e. G /\ w e. G ) /\ ( v e. G /\ u e. G ) ) ) ) |
42 |
5
|
an4s |
|- ( ( ( ( z e. G /\ w e. G ) /\ ( v e. G /\ u e. G ) ) /\ ( ( A e. G /\ B e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] .~ = [ <. A , B >. ] .~ /\ [ <. v , u >. ] .~ = [ <. C , D >. ] .~ ) -> ( ph <-> ps ) ) ) |
43 |
42
|
ex |
|- ( ( ( z e. G /\ w e. G ) /\ ( v e. G /\ u e. G ) ) -> ( ( ( A e. G /\ B e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] .~ = [ <. A , B >. ] .~ /\ [ <. v , u >. ] .~ = [ <. C , D >. ] .~ ) -> ( ph <-> ps ) ) ) ) |
44 |
43
|
com13 |
|- ( ( [ <. z , w >. ] .~ = [ <. A , B >. ] .~ /\ [ <. v , u >. ] .~ = [ <. C , D >. ] .~ ) -> ( ( ( A e. G /\ B e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) -> ( ( ( z e. G /\ w e. G ) /\ ( v e. G /\ u e. G ) ) -> ( ph <-> ps ) ) ) ) |
45 |
41 44
|
mpdd |
|- ( ( [ <. z , w >. ] .~ = [ <. A , B >. ] .~ /\ [ <. v , u >. ] .~ = [ <. C , D >. ] .~ ) -> ( ( ( A e. G /\ B e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) -> ( ph <-> ps ) ) ) |
46 |
45
|
pm5.74d |
|- ( ( [ <. z , w >. ] .~ = [ <. A , B >. ] .~ /\ [ <. v , u >. ] .~ = [ <. C , D >. ] .~ ) -> ( ( ( ( A e. G /\ B e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) -> ph ) <-> ( ( ( A e. G /\ B e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) -> ps ) ) ) |
47 |
26 46
|
cgsex4g |
|- ( ( ( A e. G /\ B e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( [ <. z , w >. ] .~ = [ <. A , B >. ] .~ /\ [ <. v , u >. ] .~ = [ <. C , D >. ] .~ ) /\ ( ( ( A e. G /\ B e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) -> ph ) ) <-> ( ( ( A e. G /\ B e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) -> ps ) ) ) |
48 |
|
eqcom |
|- ( [ <. A , B >. ] .~ = [ <. z , w >. ] .~ <-> [ <. z , w >. ] .~ = [ <. A , B >. ] .~ ) |
49 |
|
eqcom |
|- ( [ <. C , D >. ] .~ = [ <. v , u >. ] .~ <-> [ <. v , u >. ] .~ = [ <. C , D >. ] .~ ) |
50 |
48 49
|
anbi12i |
|- ( ( [ <. A , B >. ] .~ = [ <. z , w >. ] .~ /\ [ <. C , D >. ] .~ = [ <. v , u >. ] .~ ) <-> ( [ <. z , w >. ] .~ = [ <. A , B >. ] .~ /\ [ <. v , u >. ] .~ = [ <. C , D >. ] .~ ) ) |
51 |
50
|
a1i |
|- ( ( ( A e. G /\ B e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) -> ( ( [ <. A , B >. ] .~ = [ <. z , w >. ] .~ /\ [ <. C , D >. ] .~ = [ <. v , u >. ] .~ ) <-> ( [ <. z , w >. ] .~ = [ <. A , B >. ] .~ /\ [ <. v , u >. ] .~ = [ <. C , D >. ] .~ ) ) ) |
52 |
|
biimt |
|- ( ( ( A e. G /\ B e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) -> ( ph <-> ( ( ( A e. G /\ B e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) -> ph ) ) ) |
53 |
51 52
|
anbi12d |
|- ( ( ( A e. G /\ B e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) -> ( ( ( [ <. A , B >. ] .~ = [ <. z , w >. ] .~ /\ [ <. C , D >. ] .~ = [ <. v , u >. ] .~ ) /\ ph ) <-> ( ( [ <. z , w >. ] .~ = [ <. A , B >. ] .~ /\ [ <. v , u >. ] .~ = [ <. C , D >. ] .~ ) /\ ( ( ( A e. G /\ B e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) -> ph ) ) ) ) |
54 |
53
|
4exbidv |
|- ( ( ( A e. G /\ B e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( [ <. A , B >. ] .~ = [ <. z , w >. ] .~ /\ [ <. C , D >. ] .~ = [ <. v , u >. ] .~ ) /\ ph ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( [ <. z , w >. ] .~ = [ <. A , B >. ] .~ /\ [ <. v , u >. ] .~ = [ <. C , D >. ] .~ ) /\ ( ( ( A e. G /\ B e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) -> ph ) ) ) ) |
55 |
|
biimt |
|- ( ( ( A e. G /\ B e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) -> ( ps <-> ( ( ( A e. G /\ B e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) -> ps ) ) ) |
56 |
47 54 55
|
3bitr4d |
|- ( ( ( A e. G /\ B e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( [ <. A , B >. ] .~ = [ <. z , w >. ] .~ /\ [ <. C , D >. ] .~ = [ <. v , u >. ] .~ ) /\ ph ) <-> ps ) ) |
57 |
21 56
|
bitrd |
|- ( ( ( A e. G /\ B e. G ) /\ ( C e. G /\ D e. G ) ) -> ( [ <. A , B >. ] .~ .<_ [ <. C , D >. ] .~ <-> ps ) ) |