Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdleme11.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdleme11.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdleme11.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdleme11.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdleme11.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdleme11.u |
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) |
7 |
|
cdleme11.c |
|- C = ( ( P .\/ S ) ./\ W ) |
8 |
|
cdleme11.d |
|- D = ( ( P .\/ T ) ./\ W ) |
9 |
|
cdleme11.f |
|- F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) |
10 |
|
simp1l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. HL ) |
11 |
|
simp22l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Q e. A ) |
12 |
1 2 3 4 5 6 9
|
cdleme3fa |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> F e. A ) |
13 |
1 2 4
|
hlatlej2 |
|- ( ( K e. HL /\ Q e. A /\ F e. A ) -> F .<_ ( Q .\/ F ) ) |
14 |
10 11 12 13
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> F .<_ ( Q .\/ F ) ) |
15 |
|
simp1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
16 |
|
simp21l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P e. A ) |
17 |
|
simp22 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) |
18 |
|
simp23l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> S e. A ) |
19 |
|
simp3l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P =/= Q ) |
20 |
1 2 3 4 5 6 7 6 9
|
cdleme11g |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ S e. A ) /\ P =/= Q ) -> ( Q .\/ F ) = ( Q .\/ C ) ) |
21 |
15 16 17 18 19 20
|
syl131anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( Q .\/ F ) = ( Q .\/ C ) ) |
22 |
14 21
|
breqtrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> F .<_ ( Q .\/ C ) ) |
23 |
|
simp21 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
24 |
|
simp3r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) |
25 |
1 2 3 4
|
cdleme00a |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ S e. A ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) -> S =/= P ) |
26 |
10 16 11 18 24 25
|
syl131anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> S =/= P ) |
27 |
26
|
necomd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P =/= S ) |
28 |
1 2 3 4 5 7
|
cdleme9a |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ P =/= S ) ) -> C e. A ) |
29 |
15 23 18 27 28
|
syl112anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> C e. A ) |
30 |
|
simp3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) |
31 |
1 2 3 4 5 6 7 6 9
|
cdleme11h |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ S e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> F =/= Q ) |
32 |
15 23 17 18 30 31
|
syl131anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> F =/= Q ) |
33 |
1 2 4
|
hlatexch1 |
|- ( ( K e. HL /\ ( F e. A /\ C e. A /\ Q e. A ) /\ F =/= Q ) -> ( F .<_ ( Q .\/ C ) -> C .<_ ( Q .\/ F ) ) ) |
34 |
10 12 29 11 32 33
|
syl131anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( F .<_ ( Q .\/ C ) -> C .<_ ( Q .\/ F ) ) ) |
35 |
22 34
|
mpd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> C .<_ ( Q .\/ F ) ) |