Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdleme11.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdleme11.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdleme11.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdleme11.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdleme11.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdleme11.u |
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) |
7 |
|
cdleme11.c |
|- C = ( ( P .\/ S ) ./\ W ) |
8 |
|
cdleme11.d |
|- D = ( ( P .\/ T ) ./\ W ) |
9 |
|
cdleme11.f |
|- F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) |
10 |
1 2 3 4 5 6 7 6 9
|
cdleme11j |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> C .<_ ( Q .\/ F ) ) |
11 |
|
simp1l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. HL ) |
12 |
11
|
hllatd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. Lat ) |
13 |
|
simp21l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P e. A ) |
14 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
15 |
14 4
|
atbase |
|- ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) ) |
16 |
13 15
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P e. ( Base ` K ) ) |
17 |
|
simp23l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> S e. A ) |
18 |
14 4
|
atbase |
|- ( S e. A -> S e. ( Base ` K ) ) |
19 |
17 18
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> S e. ( Base ` K ) ) |
20 |
14 2
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ P e. ( Base ` K ) /\ S e. ( Base ` K ) ) -> ( P .\/ S ) e. ( Base ` K ) ) |
21 |
12 16 19 20
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P .\/ S ) e. ( Base ` K ) ) |
22 |
|
simp1r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> W e. H ) |
23 |
14 5
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) ) |
24 |
22 23
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> W e. ( Base ` K ) ) |
25 |
14 1 3
|
latmle2 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ S ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ S ) ./\ W ) .<_ W ) |
26 |
12 21 24 25
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( P .\/ S ) ./\ W ) .<_ W ) |
27 |
7 26
|
eqbrtrid |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> C .<_ W ) |
28 |
|
simp1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
29 |
|
simp21 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
30 |
|
simp22l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Q e. A ) |
31 |
|
simp3r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) |
32 |
1 2 3 4
|
cdleme00a |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ S e. A ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) -> S =/= P ) |
33 |
11 13 30 17 31 32
|
syl131anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> S =/= P ) |
34 |
33
|
necomd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P =/= S ) |
35 |
1 2 3 4 5 7
|
cdleme9a |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ P =/= S ) ) -> C e. A ) |
36 |
28 29 17 34 35
|
syl112anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> C e. A ) |
37 |
14 4
|
atbase |
|- ( C e. A -> C e. ( Base ` K ) ) |
38 |
36 37
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> C e. ( Base ` K ) ) |
39 |
14 4
|
atbase |
|- ( Q e. A -> Q e. ( Base ` K ) ) |
40 |
30 39
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Q e. ( Base ` K ) ) |
41 |
1 2 3 4 5 6 9
|
cdleme3fa |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> F e. A ) |
42 |
14 4
|
atbase |
|- ( F e. A -> F e. ( Base ` K ) ) |
43 |
41 42
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> F e. ( Base ` K ) ) |
44 |
14 2
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ Q e. ( Base ` K ) /\ F e. ( Base ` K ) ) -> ( Q .\/ F ) e. ( Base ` K ) ) |
45 |
12 40 43 44
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( Q .\/ F ) e. ( Base ` K ) ) |
46 |
14 1 3
|
latlem12 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( C e. ( Base ` K ) /\ ( Q .\/ F ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( C .<_ ( Q .\/ F ) /\ C .<_ W ) <-> C .<_ ( ( Q .\/ F ) ./\ W ) ) ) |
47 |
12 38 45 24 46
|
syl13anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( C .<_ ( Q .\/ F ) /\ C .<_ W ) <-> C .<_ ( ( Q .\/ F ) ./\ W ) ) ) |
48 |
10 27 47
|
mpbi2and |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> C .<_ ( ( Q .\/ F ) ./\ W ) ) |
49 |
|
hlatl |
|- ( K e. HL -> K e. AtLat ) |
50 |
11 49
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. AtLat ) |
51 |
|
simp22 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) |
52 |
|
simp3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) |
53 |
1 2 3 4 5 6 7 6 9
|
cdleme11h |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ S e. A ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> F =/= Q ) |
54 |
28 29 51 17 52 53
|
syl131anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> F =/= Q ) |
55 |
54
|
necomd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Q =/= F ) |
56 |
1 2 3 4 5
|
lhpat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( F e. A /\ Q =/= F ) ) -> ( ( Q .\/ F ) ./\ W ) e. A ) |
57 |
28 51 41 55 56
|
syl112anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( Q .\/ F ) ./\ W ) e. A ) |
58 |
1 4
|
atcmp |
|- ( ( K e. AtLat /\ C e. A /\ ( ( Q .\/ F ) ./\ W ) e. A ) -> ( C .<_ ( ( Q .\/ F ) ./\ W ) <-> C = ( ( Q .\/ F ) ./\ W ) ) ) |
59 |
50 36 57 58
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( C .<_ ( ( Q .\/ F ) ./\ W ) <-> C = ( ( Q .\/ F ) ./\ W ) ) ) |
60 |
48 59
|
mpbid |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> C = ( ( Q .\/ F ) ./\ W ) ) |